【高1数A】図形の性質② 三心

三角形の性質

342

赤城 (◕ᴗ◕🎀)

Senior High1

高校1年
数学A
図形の性質②
三心

2025.10.21 公開

高1 数学外心内心重心 math 高１高校1 高校１高校一年高校1年

Comment

Comments are disabled for this notebook.

ノートテキスト

ページ1:

3 三心
① 外心(外接円の中心)
三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わり、その交点を
外心という。
外心は、3つの頂点からの距離が等しい点(外接円の中心 )
である。
外心と3つの頂点を結ぶと、3つの二等辺三角形が
できる。
② 内心(内接円の中心)
三角形の3つの内角の二等分線は1点で交わり、その交点を
内心という。
③ 重心
内角の二等分線と比の定理が利用できる
三角形の3本の *中線は1点で交わり、 その交点を重心という。
頂点と対辺の中点を結ぶ線分
重心は、各中線を2:1 に内分する。

ページ2:

〖定番基本問題①】
図で、点 0 は外心、点Iは内心である。 αをそれぞれ求めよ。
(1)
A
(2)
A
70°
70°
-30°
30°
a
B
C
B
a
C
●外心･･･ 二等辺三角形 内心・・・ 角の二等分線を考えよう
(1) 右の図より
2(a + 30° + 40°)=180°
¥4030
(2) 右の図より
a = 20°
/40
#
a
=30
a
2a + 2 × 30° + 70° = 180°
α = 25°
170
30m
a
a
30

ページ3:

〖定番基本問題②〗
右の図で、 点 Gは△ABC の重心である。
このとき、 △ABCと△ABG の面積の比を、
最も簡単な整数比で表せ。
B
D
●重心･･･頂点から中点に向かって2:1
○△BDG の面積をSとする
←
AG:GD = 2:1。 高さが等しい三角形の面積の比は底辺
の比に等しいから、 △ABGの面積は2S。
△ABD = AABG + ABDG = 3S。
←
←
BD:DC = 1:1。 高さが等しい三角形の面積の比
は底辺の比に等しいから、 △ACD の面積も3S。
→> △ABC = AABD + AACD
= 3S +3S
=6S
したがって、△ABC: △ABG = 6:2=3:1
2S
3S
S
①
#
#

ページ4:

〖定期テスト過去問】
右の図で、点 Iは△ABC の内心であり、
E
AB = 12, BC = 10, AC = 8である。
(1) DC の長さを求めよ。
B
D
(2)△AECと△BCE の面積の比を、最も簡単な整数比で表せ。
CI
この値を求めよ。
IE
●頂点の二等分線の交点=内心。
解答例
(1)△ABC で、 内角の二等分線と
比の定理より
BD : DC=12:8=3:2
12
DC=xとおくと、BD=(10-x) だから
(10-x): x=3:2
比例式を解くと
x=DC=4
B
E
D
10
(2)△ABC で、 内角の二等分線と比の定理より
AE: EB=8:10 =4:5
I
※
高さが等しい三角形の面積の比は、底辺の比に等しいので
△AEC: △BCE =4:5
4
16
(3)※より AE = 12x-
==
9
3
△AEC で、内角の二等分線と比の定理
16
よりCI: IE =8:=3:2
CI 3
3
よって
6-9
IE
2
B
16.
3
D
8
8