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2024年度 1月 高1 進研模試 自学 Akagi
4
2次不等式
と2次関数
x²-2x-3≦0
f(x)=x2-2ax-3a-1
がある。 ただし, aは定数とする。
(1)2次不等式①を解け。
①
(2)方程式 f(x) =0が異なる2つの実数解をもつような
aの値の範囲を求めよ。
(3)2次不等式①を満たすxの値の範囲において, 不等式
f(x) <0を満たす整数xが全部で4個あり,この4個の
整数の総和が 2 であるようなαの値の範囲を求めよ。
(配点 20 )

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自学
x²-2x-3 ≦ 0…① / f(x) = x2 -2ax-3a-1…②
(1) ①を解く。 左辺を因数分解して (x+1)(x-3)≦0
よって
-1≦x≦3
(x-α)(x-β)≦0
(2)②を平方完成して頂点の座標を求めると
f(x)=x2-2ax-3a-1
=(x-a)² -a²-3a-1
⇔a≦x≦B
頂点(a, -a-3a-
-1)
方程式 f(x) = 0が異なる2つの実数解をもつには、 関数y=f(x)
のグラフの頂点のy座標が負であればよいので
-3±√5
a =
2
-α2-3a-1 < 0 → a² +3a + 1 > 0
-3-√5 -3+√5
..a<
2
2