【複素数平面】共通テスト対策

303

赤城 (◕ᴗ◕🎀)

2025.12.08 公開

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ノートテキスト

ページ1:

数 II, 数学 B, 数学 C
第7問
複素数 zがあり, 実部が正, 虚部が負で|z|=1である。
複素数平面上にある4点A(z), B(z-2), C(z), D(--)について
Z
考える。
2√7
(1) AC
【】【】
=
とすると z=
i
3
【イ】
【エ】
【オ】
であり
BC=
である。
1-√3i
【カ】
(2) z2
=
とする。 ただし, arg z = a( 0 ≦ a < 2π)とする。
2
1-√3i
【キ】
2
の偏角は πであるから,zの実部が正, 虚部が負であ
【ク】
【ケコ】
ることに注意すると
argz
πT
【サ】
である。
また,△ACD の面積をS, △ABC の面積を S, とすると
S,
S,
2
である。
【シ】
=
【ス】

ページ2:

確認
複素数 zがあり,実部が正, 虚部が負で|z| =1である。
→4点A, B, C, Dの位置を確認
○点A(z)はOを中心とした半径1の円周上にあり,実部が正,虚部
が負だから第4象限にある。
○点B(z-2)は点Aをx軸方向に-2だけ平行移動した点だから
第3象限にある。
○点C(z)は点Aをx軸を折り目として折り返した点だから, 半径1の
円周上の第1象限の部分にある。
1
1
o点D(--)は|z|=1⇒ zz=1⇒
---
-z だから、
Z
Z
Z
点Cを原点Oについて対称移動した点、つまり半径1の円周上の
第3象限の部分にある。
C(z)
B(z-2)
A(z)
D(---)
Z

ページ3:

自学
(1)z=a-bi(a>0, 6 > 0) とする。
▷ | z = 1 より
▷ 点Cを表す複素数は
よって
だから
a
Q2 + 62 = 1
·1
z = a+bi
z-z=(a-bi)-(a+bi)=-2bi
v=V02+(-2b)²=26
AC
2√7
こ=25より
3
②を1に代入して
a0より
AC
=
| z
2√7
√7
2b =
∴.b: =
3
3
a² +
||
√2
3
√2.
)² = 1 1. a² = 2²
9
C(z)
したがって
Z
i圏
3
3
B(z-2)
A(z)
D(-

ページ4:

自学
(1) つづき
B(z-2), C(z)より
BC=|z-(z-2)|
+
3 3
-i
=(-2)
-i-2)|
3
2√√7
·i |
3
3
C(z)
= |2+
3
2√√7
122 +
3
B(z-2)
A(z)
D(
||
64
答
8-3
||

ページ5:

(2)
N
2
=
3i
自学
を極形式で表してみます。
2
絶対値は
2
√3
1
2
r =
+
=
+
3
60°
1-2-
60
2
4
4
π 5
偏角は
arg z = α =
==
3
3
2
5
よって
² = cosx+isin
5
3
3
3
3
ここで,z の実部が正, 虚部が負だから,
12
<日<2πとすると
2
z=r(coso+isin O)
と表せるので,モアブルさんの定理により
z2=r2 (cos20+ isin 20)
.4
と表せる。
5
③と④の偏角を見比べて
20 =
=-
·л + 2kл
3
5
すなわち
0 =
==
π+kπ (k: 整数)
6
3
と表せ, <0 < 2πとなるのはk=1のときだから
2
5
11
=
九十π=
πT
6
である。

ページ6:

(2) つづき
zの絶対値は1で偏角は
このとき
自学
C(z)
11
だから
6
11
π+isin ・π
B(z-2)
11
Z = COS
6
√√√
1
=
・i
2
A(z)
D(--)
|N
2
√31
1
1
Z =
+
·i,
=
2
2
Z
2 2
i
△ACDと△ABCは, 底辺ACが共通だから高さの比が面積の比になる。
1
△ACD の高さは AD = |---z|=|-z-z|1=1-√31=√3
Z
△ABCの高さはAB= | (z-2)-z| =2
したがって
S,
5555
S,
5
答
||
2