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2月高校2年進研共通テスト模試@自学 第3問 (配点 20) △ABC において,AB=2√7,BC=3√7 である。 辺BC を 2:1 に 内分する点をDとすると, △ABDは正三角形であった。 また, △ABD の外接円と辺 AC の交点のうち, AでないものをEと すると,∠BED = ∠CED であった。 このとき,円周角の定理により E 。 <BED = ∠CED: = アイ である。また,点 A から辺 BC B に垂線 AH を引くと AH = ウエ CH = オ カ であるから AC = = キ である。また, 方べきの定理により CE: = BE || - ク ケ C であるから,角の二等分線の性質により であることがわかる。
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線分 BE と線分AD の交点をF とする。 メネラウスの定理により コ EF であるからFE = である。 FB サ ス また, メネラウスの定理により DF セ であるから AF = FA ソ タ チ である。 ツ さらに,直線 CF と線分AH の交点をI, 点Eを通り直線 BC に平行 な直線をlとすると,点は テ にある。 テ の解答群 ⑩ 直線ℓに関して点Aと同じ側 ① 直線ℓ上 ② 直線lに関して点 Cと同じ側
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自学 © Akagi 第3問 図形の性質 弧 BD に対する円周角は等しいから A 60° = <BED ∠CED = 60° 直角三角形 ABH で B 三平方の定理により √√√ AB 2√7 = √√√21 AH = × 2 2 1 BH -AB= |7 2 よって CH=2BH=2x√7=2√7 10 D /m 730° E また, 直角三角形 ACH で 三平方の定理により B H AC=√AH'+CH2=√(v√21)²+(2√7)²=7 方べきの定理により CE × CA = CD x CB ∴CE ×7= √7×3√7 ∴.CE = 3 △EBC で, 内角の二等分線と比の定理により BE:BD =CE : CD .. BE : 2√7 = 3 : √7 .. BE = 6 D #
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A △EBC と直線 AD でメネラウスの定理により EF BD CA × × =1 FB DC AE EF 2 7 x-x FB 1 7-3 =1 m EF 2 FB = 7 これとEB=6より 2 2 4 FE: = CB= 3 0 0 △ADCと直線 BE でメネラウスの定理により DF AE CB -X- × FA EC BD DF 4 1+2 -x-x FA 3 2 DF 1 = FA 2 これとAD=2√7 より =1 1 4√7 AF 1/2AD=1/2x2√7= 3 2 0 m T7 直線 CF と線分AH の交点をI, 点E を通り直線 BC に平行な直線 をlとすると･･･(お絵かき略) △AHC で, AD は中線で AF:FD = 2:1 だから点 Fは △AHC の重心。 →> AI: IH = 1:1 また, AE: EC = 4:3 よって, I は直線ℓに関して点Aと同じ側(lよりちょっと上) にある。
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