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学年末考査対策 (二項定理の練習①) ©Akagi 1 次の問いに答えよ。 7 (1) (2x+1) の展開式で、x2の係数を求めよ。 (2) +y + 2z)の展開式で、x'y'zの係数を求めよ。
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(1) (2x2+1) 7 の展開式で、x2の係数を求めよ。 解答例 ©Akagi 与えられた式の展開式の一般項は 7C, · (2x²)- 1 X 整理して 係数部分 = 14-2r x を求める。 = x2となればよいので x" すなわち 7C,27-r.x2(7-r) 7C · 27- r X 14-2=x.x 14-2r x" 1 x" x2の部分 指数部分が等しいから よって X 14-2x+r =x 14-2r = 2+r r=4 これを代入すると 7 C127-4 = 280
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(2)(x+y+2z)の展開式で、x 'y'zの係数を求めよ。 解答例 © Akagi (x+y+2z) の展開式の一般項はCxór.(y+2z)" xの指数部分に注目すると、 x3y'zのときr=3だから 6C3x3.(y+2z) 3 ..... ① よって、 x3の係数は 6 C 3 さらに(y+2z)を展開すると x'y'zのy'zに注目すると、 その係数は y3 + 6y2z + 12yz2 + 8z3 6 したがって、 求める係数は ① x②より 6C3x6=120 別解例 ©Akagi 多項定理により、 展開式の一般項は 6! xPya(2z)" p!q!r! x3y2zp=3,q = 2, r = 1)より 6! x3y2 (22) 3!2!1! したがって、 求める係数は 6×5×4×3×2×1 -x2 = 120 3×2×1×2×1x1
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