ノートテキスト
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X9 円に内接する四角形 ABCD において, AB = 5, AD = 3, <BAD = 120°であり, 対角線 AC は BAD を二等分している。 (1) 対角線 BD の長さを求めよ。 (2) △BCD の面積を求めよ。 (3)対角線 AC の長さを求めよ。 また, sin∠ABC の値を求めよ。 (配点 40)
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令和7年度 4月進研記述高3模試@自学 (1) △ABD で余弦定理により BD2 = AB2+AD' -2.ABAD cos A =52 +32-2.5.3cos 120° =25+9-30. = 49 BD>0より BD = 7劄 (1) 2 5 B D 3 A 「120° (2) 円に内接する四角形の向かい合う 角の和は 180° だから A ZC = 60° 問題文より ∠BAC = 60° D 60° 60 60° 7 弧 BC に対する円周角より 60° ∠BDC = 60° B 7 よって、 ▲BCDは正三角形だから BC=CD=7 であり,三角形の面積の公式により 1 49 √√√3 1/3 49 7.7 sin 60° = 13 2 2 2 4 C
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(3) AC = x とする。 △ABC で余弦定理により BC² = AB² + AC² -2. AB AC cos A 2 • ..7² = 5² + x² -2.5.xcos 60° ..x-5x-24 = 0 (x+3)(x-8)=0 x>0より x= AC = 8圈 ▲ △ABC で正弦定理により AC = D A 5 60° 50 C B 7 BC sin ZABC sin ZBAC √3 .'. sin ZABC = 8÷7× = 2 4 7 √3
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