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3 自学 図形 右の図のように、 2辺の長さがそれぞれ5cmと9cmの長方形ABCD がある。 辺 AB 上に BE = 3cmとなる点 E をとり、頂点CがEと重な るように折ったときの折れ線を PQ、頂点 D が移った点を F とする。 また、 EFとAQ の交点をG とする。 (1) BP の長さを求めよ。 三平方の定理 BP = xcm とすると、 PC=(9-x) cm と表せ、 折り返す前 A G [E 5cm F Q D と後の長さは等しいから EP=(9-x)cm と表せる。 B P ~9cm よって、直角三角形 EBP で三平方の定理により (9-x)2=32+x2 ∴x=BP=4cm。
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(2) AG:GQ: QD の比を求めよ。 三平方の定理と相似 AG の長さを求める。 A G E △AEG∽△BPE で、 相似比は 5cm AE: BP = 2:4 = 1:2 よって AG : BE 1:2 = BE =3cm だから F B P ~9cm Q D AG:3 = 1:2 AG = 1.5cm GQ の長さを求める。 △AEG で三平方の定理より EG = √22 +1.52 = 2.5cm FE = 5cm だから △AEG∽△FQG で、 ① FG =5-2.5= 2.5cm GQ:FG = GE:AG FG = GE = 2.5cm, AG = 1.5cm より GQ : 2.5 = 2.5: 1.5 25 ...GQ = cm ② 6 ロQD の長さを求める。 25 10 = QD = AD - (AG + GQ) = 9 - (1.5 + ) cm ③ 6 3 25 10 ①、②、③より AG : GQ QD = 1.5 : 6 3 =9:25:20
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(3) 四角形 EPQGの面積を求めよ。 A G くり抜き 3 AAEG = 2x- 2×2+2=1/27 3 E 5cm 2 2 • △EBP = 3×4÷2=6 10 3 QPCD = (-+5)×5÷2= EPQG F Q D B P C 125 9cm 6 = ABCD-(AAEG+\EBP+QPCD) 3 = 45-(-+6 + (2)² + 6 + 125) 6 50 = 30|3|
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図形 4 自学 右の図のように、一辺の長さが12cm の A 正方形 ABCD がある。 E,F は辺 AB 上 E の点でAE = EF = FB であり、G, H は辺 F 1 DC 上の点で DG = GH = HCである。 2 B また、P, Q はそれぞれ EH と FG, EH と BG との交点である。 (1) EH の長さを求めよ。 三平方の定理 EH2 = EN2+ NH 2 = 52 +122 =169 EH > 0 より EH = 13 P D |G H
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(2) PQ の長さを求めよ。 相似な図形 △EFP ∽ △HPG (2角相等)より EF : HG = 4:6=2:3 よって EP:HP = 2:3 EH = 13cm より HP = 13× 3 39 = 5 5 cm P △EBQ ∽ △HGQ (2角相等)より EB: HG = 8:6=4:3 よって EQ:QH = 4:3 EH = 13cm より 3 39 HQ = 13× |= cm ① 7 7 39 39 アイ より PQ = HP-HQ= = 5 7 78 1|3| 35 cm
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(3) 四角形 PFBQ の面積を求めよ。 くり抜き △EBQの面積を求める。 底辺はEB = 8cm -= 48 7 7 4 高さは、EQ:QH = 4:3 より12× 48 192 よって、面積は8x ÷ 2 = cm2 7 7 △EFP の面積を求める。 cm 底辺は EF = 4cm 2 24 高さは、 EP : PH = 2:3より12× == cm 5 5 よって、面積は4× 24 5 48 ÷2= cm² 5 したがって 四角形 PFBQ = △EBQ △EFP =ウ (エ) = || 192 48 7 624 35 5 cm2
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