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高2 数学Ⅱ(複素数と方程式)7月進研模試 過去問抜粋
B4 整式P(x) = x3 - (k +4)x2 + (2k+5)x +3k+10がある。
ただし, kは実数の定数とする。
(1) P(-1)の値を求めよ。
(2)3次方程式P(x)=0虚数解をもつようなkの値の範囲を
求めよ。
(3)(2)のとき,3次方程式P(x)の3つの解をα, β,yとする。
(a + 2β)2 + (β +2y)2 + (y+20)²=11となるようなkの値を
(配点 20 )
求めよ。

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解答例
P(x) = x3 -(k+4)x2 + (2k +5)x + 3k + 10
(-1)-(k+4)(-1)^+ (2k+5)・(-1) + 3k + 10
-1-k-4-2k - 5 + 3k + 10
(1) P(-1)
=
=
=
0 圈
因数定理
(2)(1)よりP(x) =0はx=-1を解にもつので, 因数分解すると
1 -(k+4)
(2k+5)
3k+10 | 1
組立除法
-1
k+5
-3k-10
1 -k-5
0
P(x)=(x+1){x2-(k + 5)x + 3k +
3k+10
+10}
P(x) = 0より
x=-1(実数解)
または
x 2 - (k +5)x +3k + 10 = 0 ①
x² − (k+5)x+3k = ·
よって, 虚数解をもつには方程式 ①が虚数解をもつ, すなわち
判別式をDとするとD<0となればよいので
D =
=
(k + 5)2-4(3k + 10)
= k2-2k-15
D<0より
k2-2k-15< 0
(x-a)(x-β) < 0
⇔a<x<β
(k+3)(k-5) < 0
したがって
−3<k<5\