【微分積分法】R.7 6月進研共通テスト模試【高3】

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

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▷ 過去問自学

2026.06.03 公開

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ノートテキスト

ページ1:

数学Ⅱ, 数学 B 数学C
第3問 必答問題) (配点 22) 自学()
放物線 C : y = 2x2 がある。 また, C,上の点A(1, 2) における C,
の接線をlとする。 接線lの傾きはア であるから,lの方程式は
y = ア X- イ
である。
また, 放物線 C2 : y=-x2+ax-b(a,bは定数)があり, C, は接線
lに点 Aで接している。 接線lの傾きは ア より, a= ウ で
である。
あり, C2は点Aを通ることから,b= エ
以下, a= ウ
b =
=
I とする。
0<t<1とする。 また, lと C, および 2直線x=t, x = 2t +1で囲まれ
た二つの図形の面積の和をS(t)とすると
オ
キ
S(t) =
3+1
+12 -t+
ク
である。
また S'(t)= ケ 12+ コ t
サ
である。
S(t)の値が最小となるtの値をtとすると
である。
シス + シ
V
ス
タ
(数学Ⅱ, 数学 B 数学C大問3は次ページに続く。)

ページ2:

太郎さんと花子さんはS(t)の最小値について考えている。
太郎: t = t, を S(t) に代入するとS(t)の最小値を求めることが
できるけど,計算が大変だね。
花子: S(t)の最小値を工夫して求めることを考えよう。
S(t) を S'(t)で割った商をP(t), 余りをR(t) とすると,
S(t) = P(t)S'(t) + R(t)
と表すことができる。 ただし, R(t) の次数は1次以下とする。
この等式を利用すると, チ であることにより, S(t) の最小値は
ツ と等しくなるので, S(t) の最小値は
テ
ヌ
ネ
トナニ
である。
チ の解答群
⑩P(t) = 0
①P(t)=0
②
S'(t) = 0
=
③ S'(t)
④ R(t) = 0
⑤
R(t) = 0
の解答群
◎P(t)
① S'(t)
② R(t)
③P(12)S'(t)

ページ3:

2025年度6月 進研共通テスト高3模試 @自学 Akagi
第3問 【微分積分法】
• C:y=f(x) = 2x2 より f'(x) = 4x
C上の点A(1, 2)における接線lの傾きは
f'(1)=4.1=4
よって, lの方程式は
y-2=4(x-1) 定点公式
∴y=4x-2
C2:y=g(x)=-x2 +αx -b より
g'(x)=-2x+α
点 A における C2 の接線の傾きがℓの傾き4と等しいから
C2は点 A を通るから
g′(1) = -2.1+ α = 4
∴.a=6
g(1) = −1² + 6·1–b=2
∴.b=3

ページ4:

2
つづき
C2: y = x²+6x-3, y=4x-2
S(t) = ['{(4x-2)-(-x² +6x − 3)}dx
=
||
=
+
•21+1
-
ſ²¹¹³ {(4x − 2) − (−x² + 6x − 3)}{dx
√2+1 (x² -2x+1)dx
-x+x
¬2t+1
PA
C2.
1
3
x
t
2t+1
||
||
=
1
3
3
-t³
+ (21+ 1)}-(}{/² - 1² + 1)
(2t+1)³ − (2t+1)² +(2t+1)
(8−1)t³ +± ±(12 −12+3)t² + ½±(6-12+6−3)t +
1
3
3
7
1
3
=
-t³ + t² − t +
-
3
3
2
S'(t) = 7 t² +21-1
-
1+1

ページ5:

S'(t) = 7t2+2t - 1
さらにつづき
S(t)の値が最小となるのはS''(t)=0とすると
- 2 ± 4√2 -1 ± 2√2
t=
14
7
-1+2√2
S(t)はt=
で極小となり最小となるので(増減表略)
7
-1+2√2
+
+
0<t<1
t₁ =
7
-1-2√2
-1+2√2
7
7
S(t) の最小値を求める。
S(t) = P(t)S'(t) + R(t)
S'(t) = 0 のとき S (t)は最小となるので
S(t) = P(t).0+R(t) = R(t)
R(t)はS(t) をS'(t)で割ったときの余りだから
1
-t+
3
21
7
7t2 + 2t-1)-13+t -t+
3
7
3
3
3
2
2
--t
3
2
1
-t+
3
1
2
t+
·t
3
21
21
16 8 R(t)
--t+
21 21
16-12√2
よって, S(t)の最小値は R(t,)
+
21
7
21
=
(9-4√2)
147