ノートテキスト
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A3 1辺の長さが3の正四面体 OABC があり, 辺 OC 上に 3 OD = 1 となる点 D を, 辺 OB上にOE =一となる点Eをとる。 4 (1) △ABC の外接円の半径を求めよ。 また, 点 0 から平面 ABC に垂線を引き, 平面 ABC との交点をHとする。 線分 OH の長 さを求めよ。 (2) 正四面体 OAED の体積を求めよ。 (3) cos ∠AEDの値を求めよ。 また, 点 0から平面 AED に引い た垂線の長さを求めよ。 (配点 20 )
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令和7年度 総合学力記述模試 ・7月 高2@自学 ~三角比~ (1) △ABC で正弦定理により 2R = = 3 sin 60° ∴. R=√3 =2√3 直角三角形OAH で三平方の定理 により OH V32-(V3)2 =1 =√6 3 A 60° B C 3 A H 外接円の半径 B C
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(2) ■ 底面積 13 △OED = × × 1 × sin 60° E D = 24 3√3 16 A 高さ (1)より√6 体積 3√3 16 x√6÷3= == 3√√2 16 E 3|4 B 60° 1 C D
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cos∠AED の値を求める。 3 60° 3-4 E E 3-4 △OAE で余弦定理により 60° 1 E D 2 60% A 3 AE2 = 32 +1 + (2)2-2.3.2 cos60°= 117 4 4 16 3√ √13 .. AE = 4 に +1-2.3 13 ‥ 1cos 60° 4 16 ○ △OED で余弦定理により ED2 = )2 +12-2. .. ED = √13 4 ○ △ACD で余弦定理により AD2 = 22 +32-2.2.3cos 60°= 7 ∴ AD = √√7 = △ADE で余弦定理により 313. (√7)² = (³√13)² + (√13 余弦定理 3√13 √13 -2. 4 4 3 ∴.cos ∠AED = 13 四 COS ∠AED
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(3) 三角比の相互関係により 3 4√10 sin∠AED = = 13 13 四面体 OAED において 13√√13 √13 底面積は △AED=-x -sin∠AED 2 4 4 3√10 = 8 3√√2 体積は (2)より 16 よって, 0 から平面 AED に引いた垂線(高さ)の長さをん とすると 3√√√10 ·×h÷3 = 8 ∴.h 3√2 16 3√√5 = 10
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