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高3Ⅱ型 2 【II型共通 必須問題】 (配点 50点) 自学(●) kを実数とし, 関数f(x), g(x) を f(x)=1/2x2 x2-3x+k, 2 g(x) = -x2 + 3 により定め, xy平面上において, 曲線y=f(x)をC, 曲線 y = g(x) を C, とする. CとC2 は x 座標がtである点P を通り,P におけるCとC2 の接線は一致する. (1) t, kの値を求めよ. (2) C と C2 および y 軸で囲まれる図形の面積を求めよ. (3) 傾きがm(m> -1)である直線を1とする. Pを通り, Cのx≦tの部分と1およびy軸で囲まれる図形の面積を C,が二等分する. (i) mの値を求めよ. (ii) Cと1で囲まれる図形の面積を求めよ.
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高3数学Ⅱ型 2025年8月第2回全統記述@自学
2 微分・積分法(数Ⅱ)
(1) 導関数
1 2
f(x)=1/12
x² -3x+k, f'(x)=x-3
g(x)=-x2+3,
g'(x)=-2x
f'(t) = g'(t) より t-3-2 ∴.t=1
• g(1) = -12 + 3 = 2 より P(1, 2)
1
よってf(1) = 2
より
×1²
x12-3x1+k = 2
9
∴.k:
2
(2) 積分法
3
-3x+. |dx
- 2) b
['{f(x) = g(x)}dx = √(2²±²x².
3
-X
2
2
3
3
+ _X--
2
+
2
3-2
-2-2-2
ここ
=
C2
2
1
C₁
t=1
ページ3:
(3) (i) 定点公式
直線1:y-2 = m(x-1)y=mx-m+2
点 P(2, 1)
傾き m
積分法
[{g(x)-(mx-m+2)}dx =f(x2
mx + m +1)dx
1
3
2
=
mx
+mx + x
2
1
これと(2)より
m+
2-3
2 3
2-3
1
=
1
2
m+.
∴.m
||
=
2
1|2
1|2
C2
2
1
3
t=1
C₁
ページ4:
(3)
(ii) 積分法
C₁ : y =
2
2
x座標を求める。
9
-3x+-と直線1:y=
1
9
2 -3x+
--
2
2
2
x+
7
3 3
よって, 求める面積は
13
1 7.
ƒ}³ {ƒ (x)-(— — x + } })}{dx =
x+
3
1 7
--x+-の交点の
3
3
∴ (x-1)(3x-13)=0
∴.x=1,
13
3
=
1
2
13
f(x-1)(x
-
13.
-)dx
3
3
C2
2
6分の1公式
t=1
ここ
=
1/13
1
2
63
1000
×
27
=
||
1
12
250
81
C₁
13
3
}
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