ページ3:

3 【必須問題】 (配点 50点) 自学(●)
kを実数の定数とする. xの3次式
P(x) = x3 -2x2+kx -1
があり,P(x)はxの1次式x-1で割り切れる.
(1) kの値を求めよ.
(2)方程式 P(x) =0を解け.
(3) 方程式 P(x)=0の虚数解のうち, 虚部が正であるものを
2
α とする.とα + α² + α + 1 の値をそれぞれ求めよ.
(4) P(x)をxの1次式x-1で割ったときの商をQ(x)とし, x
の整式 R(x)を, R(x)=(x'+x2+x+1)'とする. R(x) を
Q(x)で割ったときの余りを求めよ.

ページ4:

4 【必須問題】 (配点 50点) 自学(日
2つの箱 A,B があり,それぞれの箱の中には
|2| 2 3
の6枚のカードが入っている.また,数直線上に2点P,Qが
あり,最初のPの座標は 0, Qの座標は 6である.
次の操作 S, 操作 T により, P, Q を数直線上で動かす.
操作 S:箱 A からカードを1枚取り出し, カードに書かれた
数だけPを今ある場所から正の向きに動かし, カー
ドを箱 A の中に戻す.
操作 T:箱 Bからカードを1枚取り出し, カードに書かれた
数だけ Q を今ある場所から負の向きに動かし,カー
ドを箱 B の中に戻す.
(1) 操作 S のみを2回繰り返し行う.
(i) 2回目の操作後に,Pの座標が6となる確率を求めよ.
(ii) 2回目の操作後に,Pの座標が4となる確率を求めよ.
(2)操作 S,操作 T を同時に1回行うことを操作 U とする.
操作 Uを3回繰り返し行う.
(i) 1回目の操作後,2回目の操作後, 3回目の操作後の
いずれかでPの座標とQの座標がともに3となる確率を求
めよ.
(ii) 1回目の操作後,2回目の操作後, 3回目の操作後の
いずれかでPの座標とQの座標が一致したとき, その一
致した座標が3である条件付き確率を求めよ。

ページ5:

5【選択問題】(配点 50点) 自学(日)
0の方程式
sin 20cos0 = asino
がある. ただし, aは実数の定数である.
...(*)
1
(1)0≦0<2において, 0の方程式 cose =
を解け.
√2
5
(2) sin
sin πの値と COS・
12
5
πの値をそれぞれ求めよ. なお,
12
必要があれば, 兀=
5
12
4 6
π
+一であることを用いてよい.
(3) a=1のとき,0≦02において, (*)を解け.
(4)0≦02 とする.
(i) (*)の異なる解の個数が6個となるようなαの値の
範囲を求めよ.
(ii) αの値が (i)で求めた範囲にあるとする. このとき,
(*)の異なる6個の解を 01,02,03,04, 0, 06 とおく.
ただし,0≦0 <日<03<B<日 < 06 ≦ 2πである.
02 +
03
15
3
8
4
5
≦-〃となるようなαの値の範囲を求めよ.
9

ページ6:

6 【選択問題】 (配点 50点) 自学 (●)
数列{a}(n=1, 2, 3, …)は, 10 =31, a4+αs = 29
を満たす等差数列であり, 数列{a}(n=1, 2, 3, …)は,
初項2,公比2の等比数列である.
(1)数列{a}の一般項 α を求めよ.
(2) 数列{6}の一般項b, を求めよ. また, 数列{b,}の初項から
第n項までの和を求めよ.
n
(3)(1) S=(k+1) 'ba-k by} とするとき, S, を求めよ.
k=1
b₁
k+1
(ii) T, = a,b2 + ab2+a3b3 +... + a,b, とするとき, T,を
求めよ.
n
n
(4)=2(+6)bk とするとき,S,をT, Unを用いて
k=1
表せ. また, Uを求めよ.
n

ページ7:

高2数学
202×年8月第2回全統記述 @自学
小問集合
(1) (a + 2)(a^-2a +4) = α3-8
(2)
1
x2+2x X
(3)y
=
X
3
(
2
1
2
2
+ 4x + 4
x(x+2)^
5
4+3i
(4)
=
4
(4+3i)(1-2i)
(1+2i)(1-2i)
= 2-i
11
=
16
(5) ア
COS /BAC
=
イ
sin ZBAC
=
1+2i
22 +42-32
2×2×4
3√√15
R
= -x3+
2
16
=
11
16
2
8√√15
15
=
3√√15
より
16
(6)ウ C3 = 56(個) I 4×6= 24 (個)
8

ページ8:

2 [1] 不等式
(1) x(x-2) > 0
より
x < 0, 2<x
4
(2) −5 < 3x + 1 < 5 より -2<x<
3
(3) 1: x<a-2, a<x
②: -2<x<
① かつ② の整数解は-1, 0, 1
(ア) 整数解がx=-1だけのとき
-1<a−2≦0
1≦a
4-3
∴.1 <a ≦ 2
(イ) 整数解がx=0だけのときはありえない。
(ウ) 整数解がx=1だけのとき
Ja−2≦-1
0≦a <1
.. 0≤a<l
(ア)~(ウ)より 0≦a <1,1<a≦2

ページ9:

2 [2] 図形と方程式
(1) C₁(x-4)²+(y-3)²=9 (4,3) 3
(2) P(2, 0), m
y-0=m(x-2)
y = mx-2m
Cの中心(4, 3)と1:mx-y-2m=0との距離
| 4m-3-2m|
d =
|m² +(−1)²
|2m-3|
√√m² +1
1とCが異なる 2点で交わる
d<3
|2m-3|
< 3 .. m(5m+12) > 0
√√m² +1
12
:. m<——,
0<m
5
|2m-31
|-2m|
(3) C₁₁ = 3, d₁
=
- / C₂ : r₂ = 2, d₂
=
2
√√m² +1
√m² +1
とする。 三平方の定理により
2√² – d₁² = 2√√₁₂² — d₁₂²
4m²-12m+9
4m²
..9
= 4-
m² +1
m² +1
:.5m² +12m-4=0
-6±2√14
:.m=
5
((2)のmの範囲を満たす)
y
C₁
C₂
d₂
X

ページ10:

3 高次方程式
P(x)=x³-2x² + kx − 1
(1) P(1)=0) 1³ −2×1²+k×1−1=0
.. k = 2
(2) P(x)
=
x³-2x²+2x-1
1 -2 +2 -1
|
=
-1 +1
+1
(x-1)(x²-x+1)
1-1 +1 0
(x − 1)(x² − x + 1) =0}})_x=1,
1±√3i
2
1+√3i
(3) α =
a =
−1+√√3i
より 2 =
2
2
よって
=
axa² =
a² + a² +a+1 = −1+−1+√³i ¸1 + √³i + 1 = √3i
2
(4) R(x) = Q(x)× S(x) + ax + b
= (x² − x+1)S(x) + ax+b
+
2
.. (x³ +x²+x+1)³ = (x² − x + 1)S(x)+ax+b
➡ (a³ + a² + a + 1)³ = (a² − a +1)S(a)+aa+b
√3i
-
· (√3i)³ = 1+ √3i
2
a+b
:.9√3i= =( ²±²a + b) + √3³ ai
2
複素数の相等により 12a+b=0 a=9√3
2
2
a=18, b = −9
したがって
求める余りは
18x-9

ページ11:

4 確率
2
2
3 /
1
(ii)
0
3 1 13
6
22 5
-x-+-x-+-x-=
666666
1
1
x=
6 6 36
ABABAB
(1)(i)
-
(2)(i)
1回目:3
2回目:
|22|
1
36
3/20
18
->>
2
2
36
430
3回目:1
1
000
→>
64
これらは互いに排反だから
1 4 1
+
+
89
36 36 64
576
(ii)
1回目は“3”
Pの座標=Qの座標
2回目は “2” or “3”or“4"
3回目は“3”
▷2回目で座標“2”: A11B ( 13 or 22)
1 1 5 5
-x-x
=
2 2 18 72
▷ 2回目で座標 “4”: 対称性によりこれと同じ
よって, P の座標=Qの座標となる確率は
5 89 5 169
+
+
72
576 72 576
したがって, 求める条件付き確率は 12 より
89
169

ページ12:

5 三角関数
(1) cos
=
1
√2
(2)加法定理
○ sin
sin 20 cos0 = asin0 ... (*)
5
兀= sin
12
兀
4
,
7
4
π
πT
6
(+)
πT
兀
= sin -COS- + cos sin·
=
||
4 6
だ
√3+1
2√2
2
+
1
-
/2
×
πT
4
1
|2
π
4
74
○ cos.
5
12
πT=COS
= COS
||
||
兀
兀T 兀
+
4
6
兀
兀
-cossinsin
4 6
√3-1
2√2
13
2
|
1
√2
4 6
1|2

ページ13:

(3) 三角方程式
α=1のとき
sin 20 cos0 = sin 0
∴. 2sin Acose・cose-sin0 = 0
∴ sin (2 cos2-1)=0
倍角公式
&移項
1
-π,
7|4
.. sin 0 = 0,
coso =
,
兀
0≦02πより
0 = 0, π
4
,
兀
3
5
したがって
0=0,
πT, πT,
・π,
,
4 4
4
(4)
全部で6個
3-4
7|4
兀
π,
5-4
πT
(i) (*) を解くと
03
0,
2sin Acos ・coso-asin0 = 0
∴ sin Q(2 cos^ 0 -α)=0
∴.0=0, π, 土
10,
2
これが0から1の間
にあればよさげ
·LEN.
4
a
a
06
0<
V2
<1 より 0<a <2

ページ14:

(4)
0.
(ii) 0, +
5
2
<-πとなるαの値の範囲を求める。
3
よって
▷ 02と03は原点対称だから 05 =02+π
0 +π
2
3
0, +
VII
2
8-9
5
すなわち
2
0,≤
πT
12
5
これと0 < 02 より
0 <02
00≦
兀
不等号の向き
12
が変わる
5
辺々のコサインを考えると cos-
2
·π ≤ 0₂ < cos 0
12
3-1
(2)の答えより
≤ 0₂ <1
2√2
√3-1
さらに02
=
より
2
2√2
2
長
<1
4-2√3
辺々を2乗して
ゆえに
VII
<1
8
2
2-√√3
2
≦a<2
(0<a<2を満たす)

ページ15:

6 数列
(1) 等差数列の一般項
|lan=a,+(n-1)d とする。
a10
= 31
より
a +9d=31
= 29
より
○ a4 + α = 29
5
② ① ×2 より
a₁
......①
(a, +3d)+(a + 4d) = 29
...②
∴ 2a, + 7d = 29
d=3
これと① より
a₁
=
したがって
an
すなわち
(2)等比数列の一般項
:4
=4+(n-1)x3
a =3n+1
n
|b₁ = b₁ × r”¯¯
n-l
とする。
▷b=2,r=2
より b = 2x2"-1
n
すなわち
b =2"
n
等比数列の和
▷ 和の公式より
r-1
b(r"-1) 2(2"-1)
=
2-1
=
2+1-2

ページ16:

(3)
(i) ドミノ型数列
n
3
S„ = Σ {(k + 1)³b+1 − k³bk}
k=1
= (2³b₂ − 1³b₁ ) + (3³b¸ − 2³ b₂ ) + ··· + {(n+1)³ b+ - n³b}
...
n+1
=
(n+1)³b+1-b₁
= (n+1)³.2"+1-2
(ii) (等差数列)×(等比数列)型数列
公比をかけて
ひき算
T = 4.2+7.22 +10.23 ++ (3n+1).2"
n
-) 27
=
+·
4.227-23+ (3n-2) 2" + (3n+1). 2"+1
-T = 4.2+ 3.2² +3.23 ++3.2"
.
(3n+1)-2"+1
= 1.2+(3.2+3·2² +3.2³ +...+3.2")-(3n+1). 2"+1
6(2"-1)
= =2+
·(3n+1)· 2"+1
2-1
=2+3.2+1 -6- (3n+1)· 2"+1
= (3n-2)·2"+1-4
==
したがって
T = (3n-2) 2+1+4

ページ17:

(4) 整理
S
n
=
n
Σ {(k + 1)³bk+ − k³bk}
k=1
n
-
3
= [ {(k³ + 3k² + 3k +1) · 2+1 − k³·2* }
k=1
n
=Σ {2(k³ + 3k² + 3k
k=1
n
3
+1)· 2* − k³ · 2* }
= Σ {(k³ + 6k²) + 2(3k + 1)}. 2′
k=1
n
T = ab
n
=
k=1
n
=Σ (3k+1).2*
k=1
n
U₁ = Σk² (k+6)·2k
n
=
k=1
n
•Σ (k³ +6k²). 2k
k=1
これらより
S = U+2T
n
n
n
(3)の(i)
(3)の (ii)
よって
の解
の解
Un = S-2T
= {(n+1)³. 2+1 −2}-2{(3n-2). 2"+1 +4}
= (n³ +3n²+3n+1-6n+4)·2"+1 -10
3
= (n³ + 3n² −3n+5). 2"+1-10
おつかれさまでした