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Mathematics

【積分】普通には解けないガウス積分を高校数学だけで求めよう

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yz

2026.08.19 公開

数学高校大学積分おすすめノート2026/08/24 math 不定積分定積分インテグラル区分求積法置換積分部分積分

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ノートテキスト

ページ1:

ガウス積分の導出(高校数学範囲)
☆
exdxを求めよう
→普通にやっても解けない積分・・・・
① 導入:ウォリス積分
In = xdxを考えると、
In=1
11
sinx. in 1x de
[= cos x • sin" x
0
D
部分積分
12
COSX (1) SH x cosxde
(n-1)
0
2
1~2
cos x-sh
xdx
1~2
(n-1) √ * (1 - sux) sin ³ ³ x dx
0
(n-1) (In-2-In)
式を整理して、In=In2.
cosxdxも
同様の結果になる!
ID=II=1だから、
n-n-3
In
れ
In
n n-3
1-2
n
2.1 (not
1.匹(偶数)
2 2

ページ2:

よって、nが奇数でも偶数でも、
In In-1 = n
n-2 1-3 1-4,
N N1 N2 11-3
!nInIn=聖
ここで、xが0からきまでの区間では
sihx ≥ anx ≥
≥ sinx tabs
ミsxだから
21π
1
322
In> Intl
つまり InInticIncInInl
ひをかけて整理すると
n
N+1
2
(N+1) In In+1 < nIn < n In In-
仕事
くれく剄
lim
1 + 1/16 I
I=聖だから、
はよみうちの原理からliann In
= 1
2
→
よって、
lim √n In =
VAPO

ページ3:

②本編
y=exax=0における接線は
y'=ex より y=e(x-0)+ピ
〃 y=x+1
Sto
y
y=ex
y=x+1
平
x
つまり
x≧0では≧1+x
X--X812
ex = 1-x
x20では1-xsens
X→
嘘とすると
x≧0では1-2
η乗して、
x≧0では(1号)
D≦x≦の積分を考えると
e
1+x
+
1+x
+
(什器)
dxc
x2
edx≦
dx
(什器)

ページ4:

x=singと置換すると
dx = √n cost do, x10 + √n
M
(1-
•)"dx
0
00+ 1.
√n
24
cos O. In cos O do
受
0
211+1
cos o do
√n I2n+1
n
=
121111 [2001 0
24₤1
x=「ntanを置換すると、
M
dx =
do
0028
dx
☐
(1+225
(+税)
0755
01074
=
0
1
(1 + tan²01" cos
D
24-2
005
Odo
< n
cos
24-2
Odo
de
れ
2n-2 Ian-2
②
241-2
①②より
1antlantic
dx <
n
2-2 2
201
12n-2

ページ5:

lin
→
2n+1
W
Intl Ientl
=
lim
n
[n-1 Jan-2
=
41+00
24-2
はよみろちの原理から、
lin
S
J
-22
edx=
11200
2
e
dx=
2
x2
e
は偶関数より、
42
-∞
e
1 76
1
11
dx = √π
尻
2

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