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●複素数平面 〔3点0,a,β(040)が一直線上にある<→B=ka(k:実数)の証明]
○複素数=a+bi (a,bは実数、では虚数単位)は0でない(メキ0)とし、
複素数平面上の点と点のを通る直線をlとする。
このとき、次の定理が成り立つ。
定理 3点0,0,B(40)が直線l上にある
B=kaとなる実数化がある。
証明
()lは点(0,0)と点(a,b)を通る直線だから、
l:bx-ay=0
① とかける。
いま、点(kakb)は上にある ( ①に代入して成り立つ)から、
ka=k(a+bi)
=kat(kb)iをBとおくと、
3点00は上にある。
(⇒) l上の任意の点を(x,y)とおくと、lのベクトル方程式は、
(4)=(8)+(金)=(+)
↑原点を ↑方向ベクトル
とおる ・パラメータ
②と表せる。
B=ctdi(c,dは実数)とおくと、点が上にあることから、
②において(4)=(a)
となるようなもの値が定まる。
その値を友とすると、②により、
(4)=(c-ka
(c) = k(1) (d=kb
よって、B=ka+(b)で(③より)
=k(a+bi) =kd
が成り立つ。
である。
以上により、定理は示された。
リ
注意 上の証明において、例えばa=omatoか、とか
k=0㎞か、等の場合分けは不要である。!!