ページ3:

What happens when the bunting is lifted?
万国旗を上げる時なにが起きるか。
(a) The bunting will be so tight, the players
will barely be able to squeeze underneath.
万国旗はとてもきつくなり、 選手はかろうじ
て下側をなんとか通ることができる。
(b)The players will be able to get under
the bunting if they crouch very low
もし選手が低くかがめば、 旗の下を通れる。
(c) Most of the players will be able to walk
underneath without needing to stoop at
all.
選手のほとんどが、 全く前かがみになる必要
なく、下側を歩くことができる。
There's one metre of slack, but it has been
stretched over a very long distance, so
your intuition might well pull you towards
(a), that the string can hardly be lifted off
the ground at all.
1mのたるんだ部分があるが、それはとても長
い距離に渡って引き伸ばされているので、あ
なたの直観はあなたを (a) " ひもが地面からほ
とんど離れることができない"と考えさせる

ページ4:

There's one metre of slack, but it has been
stretched over a very long distance, so
your intuition might well pull you towards
(a), that the string can hardly be lifted off
the ground at all.
1mのたるんだ部分があるが、それはとても長
い距離に渡って引き伸ばされているので、 あ
なたの直観はあなたを (a) " ひもが地面からほ
とんど離れることができない"と考えさせる
かもしれない。
But since there might be a catch, you go
for (b) or (c) instead.
しかし、そこには落とし穴があるかもしれな
いので、代わりに (b) や (c) を選ぶ。
In this case, all three answers are wrong.
この場合、3つ全ての答えが間違っている。

ページ5:

Not only will all the players be able to
comfortably walk under the bunting, but if
they get into the team coach, the whole
coach can comfortably be driven under
the bunting with room to spare.
選手全員が不自由なく万国旗の下を歩くだけ
でなく、もしチームの大型バスに乗るなら、
大型バス全体が不自由なく万国旗の下を有り
余るほどの空間を運転できるだろう。
With just a metre of slack in the bunting,
the string can be lifted up to a height of 7
metres at the centre of the pitch.
万国旗にたった1mのたるんだ部分があれば、
ひもはグラウンドの中心に7mの高さまで上げ
ることができる。

ページ6:

Maybe in this situation, intuition goes
wrong because 'sharing' one metre of
string along a very long length sounds like
sharing five loaves of bread between five
thousand people-in other words, you
don't expect it to go very far.
多分この状況で、とても長い丈に沿った1mの
ひもを「シェアすること」 は5個のパンを5千
人に分けるようであるから、言い換えれば、
それがとても遠くまで行くことを予期してい
ないから、 直観はうまくいかないだろう
But that happens not to be the way that
the geometry in this problem works.
しかしこの問題で幾何学はうまくいかない。
The explanation here has to do with the
string forming a very long, thin triangle,
and the numbers can be worked out using
the ancient Pythagora's Theorem.
この説明はとても長いもの細い三角形を形作
るひもでされなければならず、 数字は古代の
ピタゴラスの定理を使って解決される。

ページ7:

Imagine yourself standing at the halfway
line.
線の途中に立っている自分を想像して。
The bunting string and the touchline form
two sides of a very long, thin right-angled
triangle, like this:
万国旗のひもやタッチラインはとても長い2
のサイド下のような細い直角三角形を形作る
50
50.5
The base of the triangle is 50 metres, and
the long side (the hypotenuse) is 50.5
metres.
三角形の底は50mで、長い方 (斜辺)は50.5m
である。
We need to know how high the triangle is,
since that's the space through which the
players will be passing.
それが選手が通る空間である以上、 私たちは
三角形がどれくらい高いか知る必要がある。

ページ8:

Part of the reason why this is the case is
that in order to get a leading digit of 9, the
previous number that you are doubling
has to begin 45..., 46..., 47..., 48..., or 49....
(If you don't believe me, check it out on a
calculator).
この場合の理由の一つは、 9が先頭の桁であ
るためには、2倍しているその前の数が45....
46...47...48...49... で始まらなければならない
ことだ。
(もし私を信じないのなら、 計算機で調べて)
On the other hand, if you double any
numbers that begins with 5,6,7,8, or 9, the
answer begins with a 1.
一方で、 もし 5,6,7,8,9から始まる他の数を2
倍すれば、答えは1から始まる。

ページ9:

You might remember from your junior high
school days a rule that on a right-angled
triangle, the square of the hypotenuse is
equal to the sum of the squares of the
other two sides.
あなたは小学生の頃から、 直角三角形におい
て、斜辺の2乗は他の2つの2乗の合計に等し
いというルールを覚えていたかもしれない。
It's called Pythagora's Theorem.
それはピタゴラスの定理と呼ばれる。
Using Pythagoras, it turns out that the
height of the triangle is just over 7 metres,
which is considerably taller than a typical
double-decker bus.
ピタゴラスを使い、 三角形の高さは7m余り
で、ほれは典型的な2階建のバスより著しく
高いと分かる。
The newspaper statistics
新聞の統計
Pick up any newspaper and look for
stories that contain numbers.
新聞を取り上げて数字を含む記事を見て。

ページ10:

So Benford's Law works for numbers that
are forever doubled, and in fact it is also
true for numbers that grow by any other
fixed proportion, otherwise known as
exponential growth.
だからベンフォードの法則は永遠に2倍する
数で成り立ち、実際それは他の固定された比
率で増える数で本当であるもしそうでなけれ
ば指数関数的増加として知られている。
You've just seen that things as ordinary as
a piece of string and a newspaper can
contain jaw-dropping surprises.
あなたは、ひもや新聞のように日常的なもの
がが、驚くべきことを含みうるのをちょうど
見てきた。
And all of them can be completely
explained by maths.
そしてそれらの全てが完全に数学で説明され
ることができる。
I hope it has aroused your curiosity.
私は、それがあなたの好奇心を喚起すること
を望む。

ページ11:

The sorts of numbers to look for are
measurements (height, distance, weight
and so on), sums of money (profit, pay
prizes) and statistics that are counting
things (number of cars in a pile-up,
number of tourists entering the country
and so on).
そこで見れる数の種類は、 計測値(高さ、重
量、など)、お金の合計(利益、値打)や、物を
数える (玉突き衝突した車の数、 その国に入っ
た旅行者の数、 などの) 統計である。
You should ignore dates, percentages,
people's ages and telephone numbers, for
reasons that will be explained shortly.
あなたはすぐに説明される理由で、 データ、
百分率、人々の年齢、電話番号を無視するべ
きである。
Find 10 numbers from different parts of
the newspaper, and write them down.
新聞の異なる部分から10個の数を見つけて、
それらを書き留めて。

ページ12:

Since these numbers are effectively
random, the first digit of each number will
be 1,2,3,4,5,6,7,8 or 9.
それらの数は有効に無作為だから、 初めの数
字は1,2,3,4,5,6,7,8,9のどれかだろう。
And you might suppose that a number,
such as say the total visitors at a theme
park last month, is just as likely to begin
with a 1 as with a 9.
そして、あなたは先月のテーマパークへの訪
問者の合計などの、 数字は1から始まるのも9
から始まるのも同じようであると思うかもし
れない。
But that is not the case.
しかし、それは事実ではない。

ページ13:

In fact, the number visiting a randomly
selected theme park on any particular
day, is extremely likely to begin with a 1, a
2 or a 3, and extremely unlikely to begin
with an 8 or a 9. (You will find them, but
they are very rare.)
実際は、無作為に選ばれたテーマパークへの
訪問者は1や2や3から始まる可能性が高く、
極端に8や9から始まるのは起こりそうもな
い。
あなたはそれを見つけるだろうが、それはと
てもまれだ。)
This remarkable phenomenon is known as
Benford's Law.
この注目に値する現象はベンフォードの法則
として知られている。
It applies to any selection of statistics, so
long as the numbers being chosen are
counting something that could be as low
as zero, and have no obvious upper limit.
それはどんな選択の統計にも当てはまり、選
ばれた数字でとても長いものも0と同様に低
いものを数えていて、明らかに上限がない。

ページ14:

Redundancies, numbers injured and sales
figures can be just about any number, and
generally obey Benford's Law.
余剰人員、 怪我した人数や、 販売数は大体の
数で、一般的にベンフォードの法則に従って
いる。
However, the ages of people in the
obituary column don't obey Benford's Law.
しかし、新聞の死亡記事欄での人々の年齢は
ベンフォードの法則に従っていない。
The vast majority of people listed in the
obituary ages, do not obey Benford's Law.
死亡記事の年齢のリストに表記された人々の
大多数はベンフォードの法則に従っていな
い。
Nor do other constrained numbers
including percentages and telephone
numbers.
百分率や電話番号を含む他の制限された数も
従っていない。
Benford's Law invites the question: why?
ベンフォードの法則は疑問を招く:なぜ?

ページ15:

How does a mountain ‘know' that its
height should begin with a 1 far more
often than a 9?
山は高さが9より1から始まるのが頻繁だとど
うやって「知る」のか。
And even more spookily, how come this
works whether we decide to measure the
height of the mountain in centimetres, feet
or broomsticks?
そして、より気味悪いことに、cmか、 feet
か、ほうきのどれで山の高さを測ることはど
のようにして決められたのか。
This is when the power of mathematics
can begin to really get under your skin,
because it turns out that fundamental
mathematical patterns are at work that
dictate that Benford's Law will be so.
根本的な数学のパターンは、ベンフォードの
法則がそのようであると決定するものだと明
らかにするから、 これは数学の力が本当にあ
なたを夢中にさせ始めるときである。

ページ16:

The detailed explanation as to why
Benford's Law works is rather involved,
and I have no intention of going into it
here.
なぜベンフォードの法則が成り立つのかにつ
いての詳細な説明はかなり関連していて、そ
して私はここでそうする意図がない。
But I should at least give a hint of where it
comes from.
しかし、私は少なくともそれがどこから来る
のかのヒントは与えるべきだ。
It is related to the fact that the world is full
of things that grow 'exponentially'.
それは世界は 「指数関数的に」 増加する物事
に溢れているという事実に関係している。
A simple example of exponential growth is
if you take the number 1 and keep
doubling it.
指数関数的な増加の単純な例は、 あなたが数 1
を持っていて、それを2倍し続けることだ。
The first 25 numbers you get when
doubling are:
あなたが2倍するときに得た始めの25の数は

ページ17:

1248
→ 8192
16384
32768
65536
16
131072
32
262144
Look what happens to the
64
524288
128
1048576
leading digit when you
keep doubling.
256
2097152
512
4194304
1024
8388608
2048
16777216
4096-
Notice anything about the leading digits?
先頭の桁について何か気づきますか。
So far, there have been eight leading 1s,
but we have yet to encounter any 9s.
今までのところ、8個先頭が1であるが、
まだ9には遭遇していない。