q≠0も含まれます。pとqがどうであるかによって、等差か等比か等差・等比混合型かを判断することが可能なのであって。等比、等差なら漸化式解くまでもないでしょうってこと。

あ、そういえばあの公式が使える条件ってp≠0,1の時
だけってことでいいですよね？

わかりました
なるほど！数学的帰納法はそこまで苦手意識ないです

はい。両方出来るように理解してください。
数学帰納法は、よくわからない数列でも書き出して数列が推測できればanが成り立つことを証明できる究極の証明法なので、便利というだけです。(詳しくは4/15頁を参照するように)

いつも時間に追われているんで、公式の方を使えるようにしておきたいと思います