Question

あんな

この問題が分かりません…
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Answer 1

✨ Best Answer ✨

えだまめ🫛

角度θにおける接点の座標は(cos⁴θ,sin⁴θ)である

次に角度θにおける微分係数を求める
x=cos⁴θ , y=sin⁴θ をそれぞれθで微分すると

dx/dθ = -4cos³θ･sinθ
dy/dθ = 4sin³θ･cosθ

よって
dy/dx
= dy/dθ･dθ/dx
= 4sin³θ･cosθ / (-4cos³θ･sinθ)
= - sin²θ/cos²θ
= -tan²θ

次に角度θにおける接線の方程式を求める
y切片をk とすると
接線の方程式は　y = -tan²θ･x + k …① となる

①は接点(cos⁴θ,sin⁴θ)を通るので代入して

sin⁴θ = -tan²θ･cos⁴θ + k
⇔ sin⁴θ = -sin²θ･cos²θ + k
⇔ sin⁴θ = -sin²θ･(1-sin²θ) + k
⇔ 0 = -sin²θ + k
⇔ k = sin²θ

よって①は y = -tan²θ･x + sin²θ …②となる
また②は　y=0のとき　x = cos²θ である
すなわちx切片は　x = cos²θ

したがって　OA = sin²θ , OB = cos²θ

すなわち　OA + OB = sin²θ + cos²θ = 1
これはθがどのような値でも常に一定である

あんな

cos2乗θがsinに変換できることを忘れて解けませんでした…
ありがとうございます！！