Question

🐯

どなたかこの問の(2)を教えてください(＞＜)💦
0が末尾に並ぶ個数は素因数5の個数と同じと書かれていますが、それは何故ですか？そもそも後ろは必ず0なのですか？

(類 14 大阪経大)
部寸何組あるか。
204 (1) 5"が30!の約数となるような自然数nのうち最大のものを求めよ。
(2) 30! を計算したとき, 末尾には0が連続して何個並ぶか。
(類 12 龍谷大)

3で
82]
テーマ
から
204
末尾に並ぶ0の個数
Key Point 80
れた
個
(1) 1, 2, ………, 30のうち、
5の倍数の個数は, 30 を5で割った商より 6個
52 の倍数の個数は,30を54で割った商より1個
よって, 30! の素因数5の個数は全部で
6+1=7(個) である。
ゆえに, 5" が30! の約数となるような自然数n
のうち最大のものは
(2) 30! を計算したとき, 末尾に並ぶ0の個数は、
素因数5の個数と等しいから,(1) より
し
数
0
207
n=7
7個

Answer 1

✨ Best Answer ✨

Um

まず0の個数ですが本質的には、10が何回掛けられているかです。
しかし階上の場合
30!は1＊2＊3＊...ですよね。このなかに2と5(10の素因数)はどちらが多いでしょうか？
連番になっていますから、2の個数の方が多いはずです。よって、10を2＊5の掛け算で作るとき2が余ってしまいます。だから10ができるのは5の個数分だけです。

🐯

ありがとうございます！完全に理解できました！

Answer 2

マティー

30！=α×10の何乗で表すことが出来ます。
なぜなら、αにどんな数が入ろうと10を掛ければ末尾に0が一つ増えるからです！
つまり10の何乗かを求められれば末尾の0の個数が分かります。
10=2×5です。
ただ、30!=1×2×3×···29×30ですが、2は1つおきに登場するのに対し、5は5、10、15、20、25、30にしか登場せず、登場回数が圧倒的に少ないです💦
また、25×2=100になるため、末尾の0の個数は(5,10,15,20,30)×2の5つと25×2の2つで計７個になります。
つまり、（1～30までの5の倍数の個数）+（1～30までの25の倍数の個数）が答えとなります。

🐯

ありがとうございます！！！🙇‍♀️✨

Answer 3

ジャスタウェイ

30！＝30・29・28・･･･・3・2・1
ですよね。
また、
10＝2・5
ですよね。
したがって、問題文の『末尾に0が何個連続してるか』というのは『10が何回かけられているか』という意味で、『2・5の組み合わせが何個あるのか』ということなのです。
2と5の数を比べた時に、圧倒的に5の数のほうが多いですよね。
だから素因数5の個数と等しくなるのです。

ジャスタウェイ

間違えました、5の数の方が『少ない』ですm(*_ _)m

🐯

ご丁寧にありがとうございます！😃✨理解できました！