Question

高校生

おねがいします！

[2009 中央大]
自然数 nが条件
n+5は7の倍数で, n+7は5の倍数
を満たすとき,次の問いに答えよ。
(1) n+12 を35 で割った余りを求めよ。
(2)(*)の条件を満たす最小の nを求めよ。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

としさん

n + 5 = 7x
n + 7 = 5y
(x,yは整数) と置くと

n = 7x - 5 = 5y - 7 より 7x - 5y = -2
これを満たす 特殊解 (x,y)=(-1,-1) なので

7x - 5y = -2
7*(-1) - 5*(-1) = -2

上式 - 下式 より
7(x + 1) - 5(y + 1) = 0　　より 一般解 (x,y) = (5k - 1,7k - 1)　 (kは整数)

(1)
　n + 12 = (n + 5) + 7 = 7x + 7 = 7(5k - 1) + 7 = 35k
　 余り0

(2)
　nは自然数なので
　n = 7x - 5 ≧ 1

　n = 7(5k - 1) - 5 = 35k - 12 ≧ 1
　k ≧ 13/35　で kは整数なので k≧1

　∴ n = 35k - 12 ≧ 35 - 12 = 23
　

高校生

ありがとうございます！