基本例題102 最小公倍数から自然数の決定
次の条件を満たす自然数nを,それぞれすべて求めよ。
nと 16の最小公倍数が144である。
nと12と50 の最小公倍数が 1500 である。
OO0。
T01
396
基本
C
b.388, 389 基基本
CHART
SOLUTION
最小公倍数からもとの自然数nを決定する問題 エTO
の与えられた自然数, 最小公倍数を素因数分解する
CHE
② nの素因数の組み合わせを見つける
(1) 16と144 を素因数分解すると
16=2*, 144=2*·32
よって,nを素因数分解すると, その素因数には 3° が含まれる。あとは,ひか
共通するから,nを素因数分解したときの2° の指数aについて考える。
(2) 12=2°-3, 50=2·5°, 1500=2°-3·5° であるから, n=2"·3°.5°の形。
解答
(1) 16と144を素因数分解すると
16=24, 144=2.3°
0
16=2*-3°
よって,16 との最小公倍数が144である自然数nは
(n=2°.3? (a=0, 1, 2, 3, 4)
と表される。
したがって, 求める自然数nは
合最小公倍数が素因」
を2個もち, 16は料
数3をもたないから、
は素因数3を2個もっ。
n=2°.3?, 2'.3°, 2°.3?2°.3?, 2*.3°
る
すなわち n=9, 18, 36, 72, 144
(2) 12, 50, 1500 を素因数分解すると
12=2°-3, 50=2·5°, 1500=2°·3·5°
よって, 12, 50 との最小公倍数が 1500 である自然数nは
n=2":3*.5° (a=0, 1, 2; b=0, 1)
と表される。
一最小公倍数が素因験
を3個もち, 12は
数5をもたず,50は
因数5を2個しかもた
ないから,nは素因
を3個もつ。
したがって,求める自然数nは
n さ
n=2°-3°+5°, 2'-3°.5°, 2°-3°-5°,
すなわち n=125, 250, 500, 375, 750, 1500
