Question

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どこが矛盾してますか？

基本 例題|13 互いに素に関する証明問題 (2)
自然数 a, bに対して,aとbが互いに素ならば, a+bと abは互いに素であるこ
OOOO0
とを証明せよ。
p.476 基本事項 2
指針>a+bと ab の最大公約数が1となることを直接示すのは糸口を見つけにくい。
重要114
背理法(間接証明法)を利用する。→atbと abが互いに素でない。すなわち
よんと ab はある素数かを公約数にもつ,と仮定して矛盾を導く。
お 次の素数の性質も利用する。ただし,m, nは整数である。
mn が素数pの倍数であるとき, mまたは nはかの倍数である。
1 最大公約数が1を導く
2 背理法 (間接証明法)の利用
CHART 互いに素であることの証明
解答
+bと ab が互いに素でない,すなわちa+bと abはある素
数かを公約数にもつと仮定すると
a+b=pk …… 0, ab= pl …… 2(k, 1は自然数)
mとnが互いに素でない
→mとnが素数を公約
数にもつ
ケ健
と表される。
のから, aまたはbはかの倍数である。
aがかの倍数であるとき, a=pm となる自然数 m がある。
このとき,①から b=pk-a=pkー pm=Dp(k-m)となり,
bもかの倍数である。
『これはaとbが互いに素であることに矛盾している。
bがかの倍数であるときも,同様にしてaはかの倍数であり,
aとbが互いに素であることに矛盾する。
したがって,a+bと abは互いに素である。
k-m は整数。
4a=pk-b
=が(k-m)
(m'は整数)

Answer 1

✨ Best Answer ✨

tra7345

互いに素
ということは最大公約数が１
しかし、
ａがｐの倍数
ｂがｐの倍数
だと、ａとｂはｐを公約数に持ってしまう。
このｐは当然１ではないので
最大公約数が１ということに矛盾するわけです

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ありがとうございます！
最初に公約数を持つと仮定しているのに、矛盾になるんですか？？