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数列の規則性の発見
①複数の部分からなるものはそれぞれ別々に注目する(分解して単純化する)。
②差や比を考える(等差、等比、階差の3つの基本的な数列かを確認)
(1)より{aₙ}={1/3, 3/7, 7/15, 15/31, ⋯}であるから、
①分母、分子それぞれ見ると、1, 3, 7, 15, 31, ⋯という数列が表れており、
②差をとると2, 4, 8, 16, ⋯であるから、階差が2ⁿの数列であり、その一般項は、
bₙ=1+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹(2ᵏ)=1+2∙(2ⁿ⁻¹-1)/(2-1)=2ⁿ-1
である。
したがって、aₙの一般項は、
aₙ=(2ⁿ-1)/(2ⁿ⁺¹-1)
であると予想できる。
[証明]
(i)n=1のときa₁=(2¹-1)/(2¹⁺¹-1)=1/3で成り立つ。
(ii)n=kのとき成り立つと仮定すると
aₖ=(2ᵏ-1)/(2ᵏ⁺¹-1)
であるから、n=k+1のとき、
aₖ₊₁=1/(3-2aₖ)=1/{3-2(2ᵏ-1)/(2ᵏ⁺¹-1)}
=(2ᵏ⁺¹-1)/{3(2ᵏ⁺¹-1)-(2ᵏ⁺¹-2)}=(2ᵏ⁺¹-1)/(2∙2ᵏ⁺¹-1)
=(2ᵏ⁺¹-1)/(2ᵏ⁺²-1)
となり成り立つ。
(i),(ii)より一般項はaₙ=(2ⁿ-1)/(2ⁿ⁺¹-1)である。
aₙの分子に注目すると、
1, 3, 7, 15, ⋯
という数列ですね。
この一般項はbₙ=2ⁿ-1と求められたので、
分子は(2ⁿ-1)であるとわかります。
次に、分母ですが、
3, 7, 15, 31, ⋯
これも全く同様の数列で、
基本的には{2ⁿ-1}で表されるのですが、初項が3とひとつ番号が進んでいるので、
(2ⁿ⁺¹-1)となります。
よって、分子、分母がわかったので、
aₙ=(2ⁿ-1)/(2ⁿ⁺¹-1)
ということがわかります。
最後まで丁寧に対応してくださってありがとうございます🥺理解出来ました😊🙏🏻
②のbₙまでは理解できたのですが、そこからaₙを求めるやり方が分からないので教えてください🙇🏻♀️