Question

ぽん

青いとこの意味がわかりません

おが正の数のとき
16
よ.また, a+
の最小値を求めよ.
+2

16
16
X+2
16
次に、
父+
2
16
-2=2-4-2=6
(%+2)+x -22 21(x +2)+
16.
よって、火十ス+2 26であり、等号成立は
222N(x+2)+
16
かっ 火>0 っまり ペ=2
は 火=2のとき最小値6をとる。
X+2
火+2
したがって、火+
16
X+2

Answer 1

✨ Best Answer ✨

Haruki

相加平均と相乗平均は
x+y≧2√xy
と習うと思いますが、これはx>0、y>0のときのみ成立します。
例えば上の不等式にx=y=-3を代入してみてください。
(左辺)=-6、(右辺)=6となり不等式を満たしません。
今回の問題はx+2を利用していますので、x>0が言えれば、x+2>2となるので相加平均と相乗平均の関係は利用できるといえます。

続いて等号成立についてです。
不等式が成立すれば最小値が求まったも同然だと勘違いしている人が多くいます。
しかし記号の本来の意味を考えてみましょう。
≧は>または=ということを示しています。
ですから4≧3は4>3を満たしているので成立し、3≧3も3=3を満たしているので成立することになります。

さて、x+y≧2√xyについてはどうでしょうか。
この不等式はx+y>2√xyまたは、x+y=2√xyを示しています。ですからx+yの最小値が2√xyであることを示すためには等号が成立するx、yが存在しなければなりません。相加平均とは(x+y)/2、相乗平均とは√xyです。それが一致するのはxとyが同じ値を取る時だけですので、等号成立の条件はx=yということになります。

この問題では上記のxとyがそれぞれx+2、16/(x+2)に対応していると考えてください。

まとめると
①相加平均と相乗平均の関係は、2つの数が0より大きいときのみ使える。
②x+y≧2√xyだけでは、x+y=2√xyとなるx、yが存在する保証がないので、しっかり等号成立を確認して最小値を取ることを確認する。

以上になります。
長々と失礼しました。
質問があれば遠慮せず聞いてみてください。

ぽん

わかりました！丁寧にありがとうございます！