演習 例題224 3本の接線が引けるための条件(2) 00
|f(x)=x°ーxとし, 関数 y=f(x) のグラフを曲線Cとする。点(u, v) を通る曲
|線Cの接線が3本存在するための u, vの満たすべき条件を求めよ。また, その
演習
342
aは
にa
【類鹿児島大)
基本 219, 演習223
指針>
条件を満たす点(u, v) の存在範囲を図示せよ。
指針>前ページの演習例題 223 と考え方は同様である。
1 曲線C上の点 (1, f(t)) における接線の方程式を求める。 面
で求めた接線が, 点(u, v) を通ることから, tの3次方程式を導く。
3 2の3次方程式が異なる3個の実数解をもつ条件を, u, vの式で表す。........
2
解答
解答
f(x)=3x°-1であるから, 曲線C上の点の座標を(t, f(t))
yー(ーt)=(3f°-1)(x-t)
f(x)=-
Ayーf(t)=f(t)(xーt)
とすると,接線の方程式は
ソ=(3t?-1)x-2t
『(x)=
求めるま
16+13の る
すなわち
この接線が点(u, 0) を通るとすると ひ=(3t°-1)u-2t°
よって
2t-3ut?+u+u=0
(前ページの検討 参照。
3次関数のグラフでは, 接点が異なれば接線も異なる。
ゆえに,点(u, 0)を通るCの接線が3本存在するための条件| [+10+18-=(n
は,tの3次方程式①が異なる3個の実数解をもつことである。
よって, g(t)=2t-3ut°+u+vとすると, g(t) は極値をもち, か.337 の例題219参照。
極大値と極小値が異符号となる。
g(t)=6f°-6ut=6t(t-u) であるから
『[1] 2a
x20
になる
のを
したた
これに
『[2] 2a
(g'(t)=0 とすると
uキ0 かつ g(0)g(u) <0
t=0, u
g(0)g(u)<0 から
のでu=0 とするとびく0となり, これを満たす実数ひは存在
uキ0のとき,t==0, uの
うち一方で極大,他方で極
小となる。
f(x)
のを着
しない。ゆえに,条件 uキ0 は②に含まれるから,求める条件
よって
は②である。
(ひ=-uのとき
び=3u?-1
|=0 とすると、
-13
『[3] 2a
|utu>0
1-+u+u<0
|u+ひ<0
-u+u+u>0
のから
または
x201
表は右
u=±
3
のを着
V4
よって
2/3
9
13
u=+
のとき
V3
ゆえに
または
ひく-u
l0くぴ-u
したがって,点(u, v) の存在範囲は
右の図の斜線部分。境界線を含まない。
3
10>びール
ひミェ2/3
(複号同順)
9
よって
¥3 0
これを
2/3
9
a>0 を
(直線 ひ=-uは曲線Cの
原点0における接線。
w wく
224 曲線Cの接線が3本存在するための
の条件を満たす
練習
f(x)=-x°+3x とし, 関数 y=f(x)のグラフを曲線Gとすて
5)
通る
なるほど！！
ただ代入してたんですね！
ありがとうございます🥺🙏🏻