Question

り

(3)がわからないです！至急お願いしたいです🤲

*百院人」
64 2つの数列 {an}, {bn} が次の漸化式で与えられているとする。
a1=4, bi=3
an+1=4an-3bn(n=1, 2, 3, )
bn+1=3an+4bn(n=1, 2, 3, )
(1) a2, a3, a4, b2, bs, b4を求めよ。
(2) an+4-an (n=1, 2, 3, ……), bn+4- bn (n=D1, 2, 3, ……) はともに5
の倍数であることを証明せよ。
(3) an(n=1, 2,3, ……)も 6n(n=1, 2, 3,…)も5の倍数ではない
ことを証明せよ。
[11 首都大東京]

Answer 1

ものぐさ

(2)で証明した式の意味は
a_nとa_(n+4)の5で割ったあまりが一致する
b_nとb_(n+4)の5で割ったあまりが一致する
ってのが全ての正の整数で言えるということなので
a_1が5で割って4余るのなら
a_5もa_9もa_13…とnが4ずつ増える項全てで5で割って4で余るってのが言える。
a_2を計算して5で割りきれなきゃ同じように
a_6,a_10,…も5で割り切れない

つまり(2)が言えるのならa_1からa_4とb_1からb_4まで実際に計算して5でわりきれないこと言えれば(3)はいえる

り

なんで余りが一致するんですか？

ものぐさ

2つの数の差を取ってpの倍数になるって事は
その２つの数のpで割った時の余りが等しくなる
って事と同じです。
差が何かの倍数になるとか、余りが一致するとか良く聞かれるので、この２つが同じ意味であると
自由に頭の中で読み替えられるように知識として覚えましょう。

かなり適当ですが大まかに示すと
a,bがそれぞれpで割ってs,t余るとすると
a=pm+s
b=pn+tだから
a-b=p(m-n)+s-t
になるのでa-bがpの倍数ならs-tが0になることがいえます。