Question

抹茶

この白丸のところがなんでこーなるのか分からないのですが…

基本例題 29a
次の不等式を証正明せ。
(1) la+b|Sla|+|||
の証明(絶対値と不等式)
0OOOOの
47
(2) lal-|6|Slaーb
か.基本事項6,基本 28
CHART OSOLUTION
似た問題 1結果を使う
(1) 絶対値を含むので、このままでは差をとりにくい。IAPーAを利用すると。
絶対値の処理が容易になる。よって、平方の差を作ればよい。
(2) 不等式を変形すると
そこで、(1)の不等式を利用することを考える。
2 方法をまねる
la|sla-b+b|i ()と似た形
山の方針
解答
の(1) (lal+|bD"ーla+bF=(laF+2|a||6|+|6})-(a+b)°
In A20 のとき
ーIASA-AI
A<O のとき
ーIA|-A<IA
であるから、一般に
ー1A|SASIAI
更に、これから
「A-A20, A|+A20
=a+2|ab|+6ー(α'+2ab+b)
=2ab|-ab)20
…0
Ja+bPs(la|+|60
la+b|20, Ja|+6|20 であるから
la+b|<lal+||
別解 -la|Saslal, -l6|<6s6|であるから
よって
さ
-(al+|b)Sa+bslal+||
la+b|<la|+|b|
辺々を加えて
lal+|b|20 であるから
(2)(1)の不等式の文字aを a-bにおき換えて
-cSxSc→x|Sc
xS-c, cSx
la|sla-b|+|b|
la|-|b|S|a-b|
よって
ゆえに
の方針。lal-b| が負
の場合も考えられるの
で、平方の差を作るには
場合分けが必要。
inf」等号成立条件
(1)は①から、labl=ab,
すなわち、ab20 のとき。
よって、(2) は(aーb)b20
(aーb20 かつ bこ0)
または(aーbS0 かつ bS0)
別解 [1] |a|ー|6|<0 すなわち la<lb| のとき
(左辺)<0,(右辺)>0 であるから不等式は成り立つ。
[2] |a|-|b|20 すなわち |a三6|のとき
la-bP-(lal-|6)"=(a-b)?-(α°ー2lab|+ 6)
=2(-ab+lab|)20
(lal-|b)?Sla-bP
la|-|b|20, laーb|20 であるから
lal-|6|<la-b|
よって
ゆえに
すなわち a2b20 または
aSbS0 のとき。
PaacTiCr.

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ユズ

それぞれに数字を当てはめて考えるといいと思います。

A≧0のとき
例えばＡに3を入れたとすると、
-|A|≦A=|A|　→ -3≦3=|3| となります。

A<0のとき
例えばＡに-2を入れたとすると、
-|A|≦A≦|A| → -|2|=-2<|2| となるので、その後の式が成り立ちます。

抹茶

わかりやすかったです！ありがとうございます😊