✨ Best Answer ✨
長くなるので、先に結論から申し上げます。
残念ながら不正解となります。
合同式そのものの解説を交えて説明します。
n≡3(mod 5)
とは、
n=5a+3
を表しています。
n^4=5^4a^4+・・・+81
となるので、省略してしまいましたが、最後の項以外は5で割りきれます。
次に、
n^4=5^4a^4+・・・+80+1
=5^4a^4+・・・+5×16+1
となるので、n^4-1は全ての項が5で括れるため、5の倍数であると分かり、
n^4-1≡0(mod 5)
となります。
ここで、80に合同かどうかですが、n^4の一項目である
5^4a^4=625a^4
は係数625が80の倍数ではないため、
n^4-1
は現時点で80に合同とは言えません。
さらに言えば、他の方が仰るように1と3以外にも2と4に合同な場合もあります。
ここからはお節介なので、質問者様の質問とは直接関係ありません。
質問のためにご自身の回答から抜粋して写真にしてくださったのであればよろしいのですが、2枚目の写真を回答で書かれたら、情報が足らなすぎて、理論的に正解だとしても減点されます。
もう少し途中式を書いた方がよろしいかと思われます。
ご参考していただければと思います。
解説ありがとうございます！
途中式が少なかったので次からもっと書いてみます！
ご指摘ありがとございます🙇♂️
合同式は「余りだけ」を考えているので、5に合同だという時に(間違えていますが表現として)余りが80だといっても、80に合同とは限りません。
むしろそのような場合の方が少ないでしょう。
なので、1枚目の写真のような回りくどい解説になります。
また、奇数ということで混乱されたのでしょうが、基本的に「割ったときのあまり」ですので、全ての場合を考えた方が良いでしょう。