基本 例題85 座標を利用した証明 (2)
基本 例題85座標を利用した証明 (2)
そ)
>ABCの各辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ。
基本 72
指針> p.117 基本例題 72 と同じように, 計算がらくになる 工夫をする。
I 座標に0を多く含む
座標の工夫
この例題では,各辺の垂直二等分線の方程式を利用するから, 各辺の中点の座標に分数が
現れないように, A(2a, 26), B(-2c, 0), C(2c, 0) と設定する。
なお,本間は三角形の 外心 の存在の, 座標を利用した証明にあたる。
2 対称に点をとる
解答
SoP
ZAを最大角としても一般性を失わな
い。このとき, ZB<90°, ZC<90°
である。
刀直線 BC をx軸に, 辺BCの垂直二等
分線をy軸にとり, △ABCの頂点の
座標を次のようにおく。
A(2a, 26), B(-2c, 0), C(2c, 0)
ただし a20, b>0, c>0
また,ZB<90°, ZC<90°から,aキc, aキーcである。
更に,辺BC, CA, ABの中点をそれぞれ L, M, Nとする
L(0, 0), M(a+c, b), N(a-c, b)
辺ABの垂直二等分線の傾きを m とすると,直線 ABの傾き
y
A(2a,26)
注意 間違った座標設定
例えば, A(0, 6), B(c, 0),
C(-c, 0) では, △ABCは
二等辺三角形で,特別な三角
形しか表さない。
座標を設定するときは, 一般
性を失わないようにしなけ
ればならない。
イ
N)
(M
K
\c
0|L
B
-2c
2c x
証明に直線の方程式を使用
するから,分母=0 となら
ないように,この条件を記
している。
と,
と表される。
b
であるから, m
atc
0-26
6
は
-=-1 より
atc
m=ー
atc
-2c-2a
atc
よって,辺 ABの垂直二等分線の方程式は
点N(a-c, b)を通り, 傾
atc
atc
の直線。
b
き
ソーb=--
b
828
すなわち
atc
a+6-c
0
y=ー
b
b
辺ACの垂直二等分線の方程式は, ①でcの代わりに -cと
a+8-c
b
(辺AC の垂直二等分線は,
傾き
b
の直線 AC に
おいて
a-c
の
ソ=
a-c
b
2直線の, ② の交点をKとすると, ①, ② のy切片はともに
α+6°-c
垂直で,点M(a+c, b) を
通るから,Oでcの代わ
りに-cとおくと,その方
程式が得られる。
であるから K(0, a"+ゲーc)
b
b
点Kは, y軸すなわち辺 BCの垂直二等分線上にあるから,
△ABC の各辺の垂直二等分線は1点で交わる。
ありがとうございます🙇♂️