Question

魚見さん

なぜkの最小値を求める問題なのに、
kの値の候補のうち、最大なものがkの最小値になるのか
教えてほしいです。

* 55 >
一領域と最大·最小·30分
あを実数とする。次の4つの不等式を同時に満たす点 (z, y)全体からなる
領域をDとする。
+ 3y 2 a, 3x + y2 6, a 0, y20
領域Dにおける »+yの最小値を求めよ。
く東京大)

別解 Dにおいて a+y=kとなるための条件は
+y= k, a+ 3y 2a, 3c + y26, a20,yNo
を満たす実数の組(z,y) が存在することである。
そしてその条件は, y=k-cによってyを消去することか
ら得られる
+3(k -a) 2 a, 3x + (k-a) 6,
20, k-20
すなわち
3k - a
b-k
2
2
20, Sk
を満たす a が存在すること(*) と同値である。
よって
3k
0S
ー 0
0Sk,
2
6-k
3k
6-k
ー 1
2
2
3
1
k20, k 2-(a+b), k 2
4
ゆえに,求めるk の最小値 m は
1
0,
4
a
Max
3
a
(a+ b) 2
3
テ(a+b)20
3
a
つまり
く6く3a のとき
3
1
(a+ b)
m=
()202
3
4
a
つまり a20, bく
のとき
3
a
m =
3
VI

Answer 1

✨ Best Answer ✨

暇つぶし

青枠のすぐ上の4つの不等式を全て満たすkを求めなければいけません。
例えば
k≥1, k≥2, k≥3, k≥4
なら 4 が答えとなります。
一番小さい 1 してしまうと右側3つが満たされません。
不等式系が「かつ」なのか「または」なのかを意識してください。
今回は「かつ」です。
a < b のとき、
(x-a)(x-b) ≤ 0
の答えは
a ≤ x かつ x ≤ b
より
a≤ x ≤ b
ですが、
(x-a)(x-b) ≥ 0
の答えは
x ≤ a または b ≤ x
です。
余談ですが、この問題の解法は
Fourier Motzkin の消去法と呼ばれるやつですね。
知らないと思いつかない気がします…
興味ありましたら英語版ウィキペディアか、
検索すると出てくる大学の講義資料見てみてください。