Question

なたろー

この問題の(2)はなぜ、判別式の条件が必要ないのですか？

基本 例題50
2次方程式 x*-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように, 定数かの値
2次方程式の解の存在範囲
OOOOの
の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに1より大きい。
(2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。
D.81 基本事項 2
指針>2次方程式x-2px+p+2=0の2つの解を α, βとする。
(1) 2つの解がともに1より大きい。 →α-1>0かつ β-1>0
(2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。→α-3と B-3が異符号
以上のように考えると, 例題 49 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを利用
する解法(p.81 の解説) もある。 これについては, 解答副文の「別解参照。
2章
9
解答
2次方程式x-2px+カ+2=0 の2つの解を α, Bとし, 判別式
別解 2次関数
f(x)=x"-2px+カ+2の
グラフを利用する。
をDとする。
=(-か)°-(p+2)=がーカー2=(カ+1)(カー2)
解と係数の関係から
α+B=2p, aB=p+2
(1) a>1, B>1であるための条件は
D20 かつ(α-1)+(8-1)>0 かつ (α-1)(B-1)>0
軸について x=Dp>1,
f(1)=3-p>0
から 2Sp<3
D20から
(p+1)(p-2)20
ズ=p y=f(x)
よって
pS-1, 2<p
の
(α-1)+(B-1)>0 すなわち α+B-2>0 から 20-2>0
3-
よって
(a
0
1
B
(α-1)(B-1)>0 すなわち aβ-(α+8)+1>0 から
p+2-2p+1>0
3
かく3
求めるかの値の範囲は, ①, ②,
3の共通範囲をとって
よって
(2) f(3)=11-5かく0から
11
-1
123 p
p>
5
2Sp<3
(2) α<Bとすると, α<3<Bであるための条件は
(α-3)(B-3)<0
4題意から, α=Bはありえ
ない。
aB-3(α+B)+9<0
カ+2-3-2p+9<0
すなわち
ゆえに
ats
11
よって
練習
2次方程式x°-2(a-4)x+2a=0が次の条件を満たす解をもつように, 定数aの
解と係数の関係、解の存在範囲

数学ii 二次方程式 解の存在範囲 青チャート数学iib

Answer 1

✨ Best Answer ✨

しんころ

判別式を使わなくても、f(3)<0を満たせば、必ずx軸と二点で交わるからです

なたろー

なるほど！では1はそれで条件が絞れないのでその解き方ではないということですね！ありがとうございました！