Question

こん

(2)(3)がわかんないです

130 を与えられた素数とするとき,
(1) 0以上1未満の分数で, 分母が である既約分数の個数を求めよ.
(2)mm,n(m<n) を正の整数とすると, m 以上n 未満の分数で、分母が
である既約分数の個数を求めよ.
(3) (2) で得られた既約分数の総和を求めよ.
(広島大)

Answer 1

ブドウくん

(2)
(1)の誘導に沿うため、mとnを分母がpである既約分数になおすと
m/1 →　mp/p
n/1 →　np/p
になります。
イメージとしてp=3，m=2，n=4とすると
（2×3）/3 = 6/3　
と
（4×3）/3　=12/3
になります。
この間にある分数の個数は
mp（さっきの例だと6）以上np（さっきの例だと12）未満にある数（つまり6,7,8,9,10,11）なので
np-mp=(n-m)p
になります。
ここから、既約分数でないものを引いていきます。既約分数でないを言い換えると、分母pで割り切れるということなのでpの倍数ということです。mp以上np未満にあるpの倍数は、mpやnpもpの倍数であることを踏まえると、mp、(m+1)p、…、(n-1)pになりますので、その数は(n-1)-m+1=n-mになります。

よって、p(n-m)から(n-m)を引くことで、(p-1)(n-m)が答えです。

(3)
基本的に(2)と同じく、全て足したあとに既約になるものを引く方針でいけると思います。一度やってみてください。