Question

in

最小値を用いる理由がよくわかりませんので、教えてください。

基本例題 90ある変域で不等式が常に成り立つ条件
0Sx=2の範囲において,常に x*ー2ax+3a>0 カ成り立っょ。
aの値の範囲を定めよ。
基本
次の連
い
CHART
方
OLUTION
ある変域で2次不等式が常に成り立つ条件
2次関数のグラフから読み取る
ある変域でf(x)>0 → (変域内の最小値)>0
変域に制限があるから, x°の係数>0かつ D<0 だけで済ませてはダメ、
問題をグラフにおき換えると,求める条件は「y=x°-2ax+3a のグラッが
0SxS2 の範囲でx軸の上側にあること」である。
これを(変域内の最小値)>0 と考えてみる。
この最小値の求め方は,基本例題62 (カ.104) を参照。
ソ=x°-2ax+3a のグラフは下に凸であるから, 軸が変域の左外,内,右外で塩
合分け。
CHA
解答
f(x)=x°-2ax+3a とする。
求める条件は,0<x^2 の範囲における関数 y=f(x) の最小
値が正であることである。
f(x)=(x-a)?-α'+3a であるから, y=f(x) のグラフは下
に凸の放物線で,その軸は直線 x=a である。
[1] a<0 のとき
f(x)は x=0 で最小となる。
不林館
よって
f(0)=3a>0
これは, a<0 を満たさない。
[2] 0Sas2 のとき
f(x)は x=a で最小となる。
02
u
よって
f(a)=-a+3a>0
これを解くと, a(a-3)<0 から
これと 0Sa<2 の共通範囲は
すなわち
a-3a<0
0<a<3
0<as2
0a2
x
[3] 2<a のとき
f(x) は x=2 で最小となる。大
よって
f(2)=4-a>0.
ゆえに
a<4
これと 2<a の共通範囲は
a
0 2
X
2<a<4
2
求めるaの値の範囲は, ①と ②
を合わせて
0<a<4
0
2
4
a

Answer 1

嗚呼

最小値が0より大きいのであればその式を満たすので最小値で考えます（他の値は最小値より大きい）