30第8章
数列の第n項(n22) を求めよ. た (中部大)
3項,第5項,… と順番に1つおきにとって新たに定められた
272/ 初項から第n項までの和が4"である数列において, 第1項, 第
数
例題
和 Snと一般項 anの関係2)
とそ記た(!
数列の第n項(n22) を求めよ.
(中部大)
考え方もとの数列を {an}, 求める数列を{bn} とすると, 2つの数
列の関係は次のようになる。
{an} a), a2,
an=S,-Sp-t
… 2-2
3
as, a4,
a5,
a2n-2,
a2n-1, a2n,
{bn} bi,
b2,
bs,
bn,
n個,立(カ
つまり,{b}の第n項は, {an} の第(2nT項になるので,まず,{anlの一れ。
を求めて,それを使い,第(2n-1)項を求めればよい。
一 る水
解答)最初に与えられた数列を{an}とし,初項から第n項まで
の和を Sn とすると,
Sn=4",
a=S;=4'=4 …①-
)(+ n=1 のとき, a-=S.
となる。
n22 のとき,{an} の一般項は,
こ an= Sn- Sn-1 こ 時 ょい ス
=4-47-1=3·4"-1
この式で,n=1 とすると,
ない。
3-1=3 となり, ①となら、
ると、次のよう 4°=1
4"-4"-1=4-47-1-4
4-1)·4"-1=3-4"-1
n=1 のときを調べる。
4
anミ
13·4"-1 (n22) )8 (8
したがって、
(n=1)
求める数列を{bn} とすると, {bn} は,
{bn}:a1, a3, as, ……………, a2n-1,
となり,{bn}の第n項は, {an}の第(2n=1)項となる.y①
したがって, n>2 のとき,
bn=Q2n-1=3·42n-1)-1=3·42(n-1) |3·2(n-1)
よって,
1+0
ういク
2
bn=3-2(nー1) (n22)
