Question

みう

問）1から100までの整数のうち、次のような数は何個あるか。

（1）8で割り切れない、または12で割り切れない数。

この問題の意味が分かりません！！答えと解説を教えて欲しいです！

数学a

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ω(1の3乗根)

1から100までで8で割り切れない、または12で割りきれない数の個数っていうのは要するに100(1から100までの整数の個数)-(8で割り切れ、12で割り切れる数の個数)ってことは分かりますか？
いわゆる余事象ってやつっすよ。
分からないとこあればまた気楽に質問等。

Answer 2

LUX SIT

否定で書かれているから分かりにくいですよね. こういう時は集合の性質を利用するのが賢いです.
***
1から100までの整数の集まりを集合U[全体集合]
そのうち8で割り切れるものの集まりを集合A, 12で割り切れるものの集まりを集合Bとします.
ここで集合A∩Bは8でも12でも割り切れる. すなわち最小公倍数の24で割り切れるものであることに注意します.
求めたいのは集合A^c∪B^c[^cで補集合を表します]に属する要素の数です. 集合の性質を利用すると
A^c∪B^c=(A∩B)^c[ド・モルガン(de Morgan)の法則. 証明は教科書を見ましょう.]=U-(A∩B)と簡単化できます.
1から100までの整数のうち24で割り切れるものは24n[n=1, 2, 3, 4]と書けますから
n(A^c∪B^c)=n((A∩B)^c)=n(U)-n(A∩B)=100-4=96個と求めることができます.

LUX SIT

[別解] 包除原理の応用
1から100までの整数のうち8で割り切れるものは8n[n=1,2,…,12]と書けます.
したがって8で割り切れないものは100-12=88個あることになります.
条件を満たすものは, 上で求めた個数に8で割り切れて12で割り切れないものを足し合わせたものです[包除原理によります].
8でも12でも割り切れる, すなわち24で割り切れるものは24m[m=1, 2,…,4]と表せるので12-4=8を足せばいいことになります.
すなわち88+8=96個です.
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これはかなり数え上げに慣れないと難しいかもしれません. 分からなくても悲観する必要はないです.