Question

かのん

（１）で固定した上面の色の選び方は６通りあるはずなのにその6をかけないのはどうしてですか？

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円順列・じゅず順列
立方体の各面に、隣り合った面の色は異なるように,色を塗りたい。ただし, 立
塗り分けの問題 (2)
重要 例題 20
方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。
(1) 異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。
(2) 異なる5色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。
基本 18
重要 32
指針 「回転させて一致するものは同じ」と考えるときは,
(1)1色で固定 展開図(上面を除く)
特定のものを固定して、他のものの配列を考える
下面
異なる色
側面は円順列
(1) 上面に1つの色を固定し、 残り5面の塗り方を
考える。 まず, 下面に塗る色を決めると, 側面の塗
り方は円順列を利用して求められる。
(2) 5色の場合、 同じ色の面が2つある。 その色で上
面と下面を塗る。 そして, 側面の塗り方を考える
が,上面と下面は同色であるから、 下の解答のよう
にじゅず順列を利用することになる。
同色で固定
CHART 回転体の面の塗り分け 1つの面を固定し円順列 かじゅず順列
解答
(1) ある面を1つの色で塗り, それを上面に固定する。
このとき, 下面の色は残りの色で塗るから
検討 (1) 次の2つの塗り方は、
例えば左の塗り方の上下を裏返すと
5通り
右の塗り方と一致する。 このような
そのおのおのについて, 側面の塗り方は,異なる4
個の円順列で
一致を防ぐため、上面に1色を固定
している。
(4-1)!=3!=6 (通り)
5
よって
5×6=30 (通り)

Answer 1

✨ Best Answer ✨

aporon

その色からみた景色が同じなら同じ色の塗り方って考えましょう

かのん

その見ている方の色はなぜ変わらないのでしょうか…？

aporon

円順列の考え方と同じです

なんでもいいので、5個円形に並べてみてください
1個に注目して、ぐるぐる回したときに、その1個からの景色に変わりはないですよね？

かのん

理解力なくておっしゃりたいことがよく分からないです、、すみません。

aporon

実際にやってみましたか？

かのん

そもそも言いたいことがわからないです…

aporon

なんでもいいので5個円形に並べてみてください

それで、1個固定します。
その1個からの景色、右隣にあるもの左隣にあるものなどなど

円順列の場合、その5個をぐるぐる回したときに、1個固定したものから見える景色に変化はありませんよね？

かのん

その円順列の考え方はわかるのですが、今回の問題のどこと関係があるのですか？

aporon

今回の問題でも考え方は同じです。
固定する面を赤でぬったときに、その向かいは青で左隣は黄色などなど、赤からみたときの景色が同じ塗り方は同じ塗り方です
例えば、赤が上ではなくて下にきたときでも、向かいが青、左隣が黄色になっていれば同じ塗り方です

誤解の大元としては、固定する→上の面の塗る色を決める
と誤解しているところが原因かと思います

固定するのは、その色と他の色との位置関係を見るためだけです。

かのん

1つの色を固定するということでしょうか？

aporon

そーですね👍

かのん

なるほど！ありがとうございます！