Question

華恋〔かれん〕

こちらの問題が分かりません💦
テストがあるので
丁寧に解説していただけると助かります✨

*3
aを定数とし,関数y=2x-4ax+a (0<x<1) の最大値を M, 最小
値を mとする。このとき, 次の問に答えよ。
(1) m の値が最大となるaの値を求めよ。
(2) Mの値が最小となるaの値を求めよ。
(防衛大)

Answer 1

✨ Best Answer ✨

きらうる

2次関数で文字の入った最大最小を求めるときは、とりあえず平方完成して、頂点や軸などの概形を考えます。

y＝2x²-4ax+a
　＝2(x²-2ax)+a
　＝2(x-a)²-2a²+a
下に凸で、軸はx=aで、頂点は(a,-2a²+a)ということがわかりました。

(1)
最小値mは、0≦x≦1において、軸の位置によって変わってきます。
簡単なものでいいので、放物線と範囲を書いてみることです(写真参照)。
①軸がx＜0のときには、最小値はx＝0のとき
②軸が0≦x≦1のときには、最小値は頂点であるx＝aのとき
③軸がx＞1のときには、最小値はx＝1のとき

①軸がx＜0のとき、すなわちa＜0のとき
x=0で最小値をもつので、代入して
y＝a＝m
このときmの値は最大でも0

②軸が0≦x≦1のとき、すなわち0≦a≦1のとき
x=aで最小値を持つので、代入して
y＝-2a²+a＝m
この式は最大値が何なのかわからないので、平方完成します。
m＝＝-2(a²-1/2a)
　＝-2(a-1/4)²-1/8
mはa＝1/4で最大値をもつので、a＝1/4のとき
m＝1/8

③軸がx＞1のとき、すなわちa＞1のとき
x＝1で最小値を持つので代入して
y＝2-3a＝m
m＝-3a+2　はa＞1の範囲では最大でも-1

よって、mが最大になるのは1/8であり、そのときのaは1/4

とりあえず、ここまでわかりますか？

きらうる

なんの反応もないのはいと寂し

華恋〔かれん〕

すみません💦何故かメッセージが送れていませんでした💦
そこまでは理解出来ました！