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事実:任意の自然数Nについて
N,N+1は互いに素(=最大公約数は1)
この事実を用いれば,2以上の自然数n₁に対し
n₁,n₁+1は互いに素なので,それらの積
n₁(n₁+1)は少なくとも2個の素因数を持ちます.
例)
n₁=4の時
n₁(n₁+1)=4•5=2²•5
(2と5の2つ)
n₁=5の時
n₁(n₁+1)=5•6=2•3•5
(2と3と5の3つ)
ここで,このn₁(n₁+1)という数を新しくn₂とする.
つまりn₁=4ならn₂は20,n₁=5ならn₂は30となる.
n₂はもちろん2以上の任意の自然数n₁で考えられる.
もちろんn₂とn₂+1も互いに素なのでそれらの積の
n₂(n₂+1)は少なくとも2個の素因数を持ちます.
ここで先程n₁(n₁+1)をn₂と定めているので
n₂(n₂+1)=n₁(n₁+1)(n₂+1)となります.
n₂とn₂+1が互いに素である以上,
n₂=n₁(n₁+1)の因数(素因数とは限らない)である
n₁とn₁+1も,もちろんn₂+1と互いに素であるはずです.
例えば
6と6+1=7は互いに素である.
6=2•3と書けるが,もちろん2と3も7と互いに素.
なのでn₂とn₂+1の積
n₂(n₂+1)=n₁(n₁+1)(n₂+1)は少なくとも
3つの素因数を持ちます.
例)
n₁=2の時,n₂=2•3=6なので
n₂(n₂+1)=6•7=2•3•7
(2と3と7の3つ)
n₁=3の時,n₂=3•4=12なので
n₂(n₂+1)=12•13=2²•3•13
(2と3と13の3つ)
ここでまたn₂(n₂+1)=n₁(n₁+1)(n₂+1)をn₃として
またn₃(n₃+1)を考えれば,この積は
少なくとも4つの素因数を持つことになります.
つまりnₘ(nₘ+1)は少なくともm+1個の
素因数を持ちます.
(nₘ=nₘ₋₁(nₘ₋₁+1))
以上の操作(NとN+1の積)は任意の自然数に対して
行える=無限回行える
つまりnₘ(nₘ+1)のmはいくらでも増えうる.
したがって素因数もいくらでも増えうる.
以上の議論に矛盾は生じていないので
素因数が無限個あることが証明できました.
もし質問や、間違えている所がありましたらコメントよろしくお願いします！🙇♂️
素因数というのは
因数の中でもそれが素数であるものを指します.
例えば18という数の因数は
18=3•6と考えれば3と6であるし
18=2•9と考えれば2と9でもあります.
他にも18=1•1•1•18と考えれば1と18でもあります.
このように一つの数にいろいろな因数を考えられます.
しかしこの因数を最も細かくする,つまり
18=3•6=3•(2•3)=2•3²のように”素数のみ” の積で
表す方法は一つの数に対し一通りしか存在しません.
コレを素因数分解といい
また一通りしか存在しないことを素因数分解の一意性
といいます.また,この場合の2,3のような
因数の中でも素数であるものを素因数といいます.
なるほど！ありがとうございます！
素因数と素数は同じ意味ですか？