Question

soboro

この積分は、よく左の置換が使われていますが、右側のように、tanθの置換でも解けるのでしょうか？
溶けるのでしたら式を教えていただけると有難いです。

2+1 die
t = x +
vài
x= tand

Answer 1

✨ Best Answer ✨

aporon

x=tanθの置換の方が楽ですよ
x²+1=tan²θ+1=1/cos²θ,dx=(tanθ)'dθ=1/cos²θ dθ
と考えれば、積分される関数も見えてくるかと
ちなみに-π/2<θ<π/2とすることを忘れないように

soboro

ありがとうございます。
続けて質問になってしまうのですが、左の置換を使う時はどのようなときなのですか？

aporon

そのように置換してもいいってだけです
積分するときの手法の１つです

今回の形の積分であれば、x=tanθと置換した方が「個人的に」式がスッキリして見やすい
例えば、√(x²+16)とかなっていれば、x=4tanθと置換すれば上手くいきます。
左の方法でも、x+√(x²+16)と置換すればいいだけなんですけどね笑

soboro

なるほど！ありがとうございます！！

soboro

すみません！1つ目の回答のθの範囲指定はどのような意味ですか？ほんとに質問ばかりですみません🙇‍♂️

aporon

tanθで置換した際には、θに何でも入っていいわけではないですね。
x=tanθというグラフを考えたとき(縦軸:x,横軸:θ)、-π/2<θ<π/2という制限をつけても、xの値はすべての実数をとるわけなので、問題はありません。

soboro

すべての実数をとるってことですかね！
本当にたすかりました！
ご丁寧にありがとうございました！