Question

Hi（受験生）

なぜ［1］以降αからxに戻っているのですか？

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00000
2次方程式の共通解
重要 例題 99
2つの2次方程式2x2+kx+4=0, x2+x+k=0がただ1つの共通の実数解をも
つように定数kの値を定め, その共通解を求めよ。
指針 2つの方程式に共通な解の問題であるから,一方の方程式の解を求めることができたら
その解を他方に代入することによって、 定数の値を求めることができる。 しかし、例題の
方程式ではうまくいかない。 このような共通解の問題では, 次の解法が一般的である
2つの方程式の共通解をx=αとおいて,それぞれの方程式に代入すると
2a²+ka+4=0
①,
a²+a+k=0
(2)
......
CHART 方程式の共通解 共通解を x =α とおく
3873
これを αkについての連立方程式とみて解く。
② から導かれる k=-d^²-αを①に代入 (k を消去)してもよいが, 3次方程式となって
数学Iの範囲では解けない。 この問題では,最高次の項であるα2 の項を消去することを
考える。なお, 共通の「実数解」という問題の条件に注意。
解答
共通解を x=αとおいて, 方程式にそれぞれ代入すると
2a²+ka+4=0
①, a²+a+k=0
②
口 ①-② ×2 から
ゆえに
よって
[1] k=2のとき
2つの方程式はともにx2+x+2=0 となり,この方程式の判
別式をDとすると
D=12-4・1・2=-7
D<0であるから,この方程式は実数解をもたない。
ゆえに、2つの方程式は共通の実数解をもたない。
[2] α=2のとき
②から
22+2+k=0
よって
k=-6
このとき2つの方程式は2x2-6x+4=0, x2+x-6=0
すなわち 2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0 となり,
解はそれぞれ x=1,2; x=2, -3
よって、2つの方程式はただ1つの共通の実数解x=2をも
練習
基本
(k-2)a+4-2k=0
(k-2)(a-2)=0
k=2 または α=2
< α² の項を消去。 この考え
方は, 連立1次方程式を加
減法で解くことに似ている。
数学Ⅰの範囲では,
x2+x+2=0の解を求める
ことはできない。
x=2を①に代入してもよ
つ。
以上から
=-6, 共通解はx=2
注意上の解答では,共通解x=αをもつと仮定してやんの値を求めているから,求め
た値に対して,実際に共通解をもつか,または問題の条件を満たすかどうかを確認
しなければならない。
2つの2次方程式x+6x+12k-24=0, x2+(k+3)x+12