Question

なないろ

(2)についてです。
なんでPAとAB’ 、PBとAB’が直角ならQが垂心とわかるんですか？
なんとなく感覚では分かるのですが、垂心の定義から考えても、垂心と言い切ってしまっていいのかわかりません
教えてください🙇🙇

35.直線上に3点A, B, C をこの順にとり, AB を直径とする円を0と
する.C を通る直線m (1) を円 0の円周と2点で交わるように引き,C
に近い交点をB' とし,他の交点を A' とする. AA' と BB'の交点をPとし,
AB' と BA' の交点を Q, PQとの交点をRとする。
AR AC
(1)
RB CB BOUR
(2) 直線 PR はに垂直であることを証明せよ.
(3) 直線が上の条件を満たしながら動くときの, 点Pの軌跡を求めよ.
愛知教育大)
=
が成り立つことを証明せよ.

(2) AB を直径とする円0の周上に A', B' があるから、
∠AAB=90°, ∠AB′B=90°
すなわち, PAIBA, PB⊥AB' ゆえ, Qは三角形 PABの垂心である
∴. PR⊥AB.
PR⊥l.

垂心

Answer 1

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希

垂線が2本だけだと足りないと思っているということでしょうか？

垂線が2本でその交点は垂心となります。こう一本の
垂線は必ずその交点を通ることになります。

なないろ

質問の意図はそういうことです！

ということは、2本の垂線の交点が垂心となるということは、垂心が存在する証明から明らかということでいいんでしょうか？

希

明らかではないですが、2本の垂線の交点は必ずもう一本の垂線も通ります。
このことは証明があるのですが、証明なしで使われますので覚えておいたほうがいいです。
証明は調べれば出てきます。かなり長くてめんどくさいですが、、

なないろ

今調べて見てきました！
確かにこれはめんどくさいですね…
証明のイメージを持ちつつも覚えておこうと思います。
ありがとうございました！