Question

e84

蛍光ペンで引いているところの途中式を教えて欲しいです🙇‍♀️

92.nが自然数のとき,数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。
□(1)* 1+2+4+ ...... + 2-1=2"-1
+･･････+
1
1.2
1
2.3
+
=
1
] (2)
n(n+1)
口 (3)* 1・2+2・22+3・23+..+n2"=(n-1)・2n+1+2
n
n+1
CD Sar
2
00g
p.38 例題 17
RUSIA 00

(3) (I)n=1 のとき,
(①の左辺) =1・2=2, (①の右辺)=(1-1)・21+1+2=2
よって, ① は成り立つ。
(II)n=kのときの ①, すなわち,
1・2+2・2°+3・2°+......+k.2k= (k-1) ・2k+1+2
が成り立つと仮定する。
n=k+1 のとき,②より,
(①の左辺)=1・2+2・22+3・2°+....‥.+k•2k +(k+1)・2k+1
3
={(k-1)・2k+1+2}+(k+1)・2k+1
3
=2k•2k+1+2=k•2k+2+2
={(k+1)-1}•2(k+1)+1+2= ( ① の右辺)
(2)
よって,n=k+1 のときも ① は成り立つ。
(I), (II)より, ① はすべての自然数nについて成り立つ。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

グリーン

②の左辺と同じ部分(最初の❸)を②の右辺(後の❸)に変えています

そのあとは２＾k+１　でくくる(係数をまとめる、k-1+k+1=2k)計算をしています

e84

蛍光ペンで引いたところの途中式を教えて欲しいです

グリーン

蛍光ペンで引いたところは、ひとつ前の式をあえて変形しています

それで①の右辺のnをk+1に変えたものになる、つまりn=k+1でも成り立つという証明をしています