Question

コロッケ

微分係数が存在するかしないかって
右側極限の微分と左側極限の微分が合うか合わないかのみによるという理解でよいですか？

連続で
[+] (②)
連続
T
分
■数
60 関数の連続性と微分可能性
/関数f(x)=x^2/x-2|はx=2において連続であるか、 微分可能であるかを調べ
p.106 基本事項
62
検討
[例題]
f(x)がx=αで連続limf(x)=f(α) が成り立つ
f(x) が x=αで微分可能微分係数 lima+h)-S(α)
h
オー
lim f(x)
X 2+0
これらの極限について調べる。
f(x)はx=2の前後で式が異なるから、例えば連続性については、右側極限
20, 左側極限x2-0 を考え,それらが一致するかどうかを調べる。
=limx2(x-2)=0
x-240
lim f(x)
x-2-0
=lim{-x2(x-2)}=0
x2-0
また, f(2)=0 であるから
lim f(x)=f(2)
X-2
よって, f(x)はx=2で連続である。
次に
=
lim
h+0
ƒ(2+h)-f(2)
h
lim
h-0
f(2+h)-f(2)
h
=lim
h→+0
h→+0
=lim(2+h)=4
ya
lim
h-0
(2+h)³h-0
h
(2+h)²(−h)-0
h
=lim{-(2+h)"}=-4
h-0
h→+0とん → 0 のときの極限値が異なるから,
f' (2) は存在しない。 すなわち, f(x)はx=2で微分可能
ではない。
微分可能連続の利用
f(x)がx=αで微分可能x=α で連続
y=f(x)
(2) f(x)=
X
0
107
00000 F
p.97 基本事項■
が成り立つ。 よって、上の例題のような問題では,微分可能性から
先に調べてもよい(「微分可能」がわかれば、極限を調べなくても
「連続である」という結論を出すことができる)。
また、⑩の対偶「f(x)がx=4で連続でない⇒xaで微分
「可能でない」 も成り立つ。
x
1+2 +
が存在する。
4A=
を用いて、絶対値をはず
A (A20)
-A (A<0)
◄f(2+h)-(2+h)²|h||
ん→ +0のとき >0
ん→-0のとき <0
に注意して、 絶対値をは
ずす。
練習 次の関数は, x=0 において連続であるか, 微分可能であるかを調べよ。
260
(x=0)
(1) f(x)=|x|sinx
(x=0)
微分可能
[(1) 類 島根大〕
p.115 EX 48
3
章