72
第3章 図形と式
x=2t+1
(1)
(2)
ly=6t+2
y=t²
12=101+2
(3)
x=cost-1
y=sint+1
(0°≦t≦90°)
45 軌跡 (Ⅲ)
tが実数値をとって変化するとき,次の関係式をみたす
点P(x, y) の軌跡を求め、図示せよ.
また, ①'において, t≧0 だから,x≧2
よって, 求める軌跡は
たね
73
73
放物線の一部y=(x-2) (x≧2)
また, グラフは右図。
注 放物線は,πに範囲がつけば」の範囲は決ま
るので,yの範囲を考える必要はありません。
0
2
4x
t=90°yl
x=cost-1
ます。
変数で表されている点P (x, y) の軌跡は次の手順で考えてい
(3)
より
x+1=cost ...... ①
2
y=sint+1
①+② より
I. 動く点を (x,y) とおく
II.x,yの関係式を求める
すなわち,y以外の変数(ここではt) を消去する.
Ⅲ.xやyに範囲がつかないか調べる
金(
変数 tのことを媒介変数,または, パラメータといいます.
よって, 求める軌跡は
ly-1=sint ... ②
(x+1)2+(y-1)=cos't+sin't
st
\t=0°
-1
O TC
-1≤x≤0, 1≤ y ≤2
.. (x+1)+(y-1) 21 (∵ cos't+sin't=1) tは図の位置に
また, cost ≦1,0≦int≦1より,
あらわれるので,
円弧 (x+12+(y-1)2=1
(-1≤x≤0, 1≤y≤2) R
また,グラフは右図
tを0°から90°
まで動かして考
えることもでき
る
注 円はxの範囲だけでは不十分です.
yの範囲も考えなければなりません.
かくれた条件
また,(3)のように, 媒介変数を消去するときには, かくれた条件
(sin't+cos't=1) を使うことがあります。 気をつけましょう.
解答
|x=2t+1 ①
ly=6t+2 ......②
について解くとt=-1
y
2
②に代入して y=3(x-1)+2
いて 求める軌跡は
2---
tを消去
O
直線 y=3x-1
x
ポイント
1
-1
グラフは右図
軌跡を求めるときは, 媒介変数の消去がメインの作業
だが,x,yに範囲がつく可能性を忘れてはいけない
\t\+2 ... ①
=12
範囲はつきません。 だから,
がすべての実数値をとるときはすべての実数値をとるので
のⅢは解答に現れません.
演習問題 45
tが実数値をとって変化するとき,次の関係式をみたす点
