Question

いなり

数学的帰納法を用いた証明問題です
わかる方教えてください

(2)
nは自然数とする。 22+6n-1は9の倍数であることを, 数学的帰納法を用いて証明せよ。

Answer 1

あ

nは自然数であるとする。
2^(2n)+6n-1が9の倍数であることを数学的帰納法を用いて示す。
(ⅰ)n=1のとき
2^2+6-1=4+6-1=9
なのでn=1のとき2^(2n)+6n-1が9の倍数となる。
(ⅱ)n=kのとき2^(2k)+6k-1が9の倍数、つまり自然数mを用いて2^(2k)+6k-1=9mと表せると仮定すると、n=k+1のとき2^{2(k+1)}+6(k+1)-1が9の倍数であることを証明する。
2^{2(k+1)}+6(k+1)-1
=2^(2k+2)+6k-1+6
=(2^2k)×4+6k+5
=(9m-6k+1)×4+6k+5
=9(4m)-24k+4+6k+5
=9(4m)-18k+9
=9(4m-2k+1)
よって、n=k+1のとき2^{2(k+1)}+6(k+1)-1が9の倍数となる。
以上(ⅰ)(ⅱ)より任意の自然数nについて2^(2n)+6n-1は9の倍数となる。