Question

Kei

数Bの数学的帰納法の問題です。不等号の時の計算の仕方（オレンジの所）が分かりません。数が大きい方に小さい方を持って行って＞0を示すのは分かるのですが、オレンジの所ってどうやったら出てくるのでしょうか…分かりません。教えてください🙇

□ 93 数学的帰納法によって,次の不等式を証明せよ。
(1) nが自然数のとき
12+22+32+......+n² <-
(n+1)3
3
*(2) nが4以上の自然数のとき
2">3n+1
(3)が3以上の自然数, h>0 のとき
(1+h)">l+nh

成り立つ。 ①
A+I<"+D) (8)
93 (1) 12+22+32 + ......+n² <•
(n+1)3
(1)
①
3
(+)
とする。
[1] n=1のとき
# Jet
238
左辺 = 1, 右辺 =
3 3
[S]
よって, n=1のとき、①は成り立つ。
[2] n=kのとき①が成り立つ, すなわち
12 +2 +32 +... + k<
(k+1)3
3
と仮定する。
(2)
②

+
A
3
n=k+1のとき,①の両辺の差を考えると,
②から
(k+2){12+2°+.
−{1²+2² + ...... + k² +(k+1)²}
(k+2)3
(k+1)3_(k+1)2
3
3
3k2 + 9k + 7
_(k2+2k+1)S+I
$3
=k+
0
すなわち
(k+2)3
12 +22 + ......
+ k2+(k+ 1)<
1+
3
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は
成り立つ。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

きらうる

①の不等式は成り立つと仮定しているので、
{1²+2²+…+k²}
のぶぶんだけ＜(n+1)3/3の不等号が成り立ちます。
ちなみに、カッコの前がマイナスなので、不等号の向きが変わっています。

Kei

理解しました！ありがとうございます🙏