Question

りる

12（1）〜（2）
シュワルツの不等式を使った別解が載っていたのですが、シュワルツの不等式を用いて解くことは大学受験に必要ですか？それともこの別解は時間がないなら無視しても大丈夫でしょうか？

12 (1) 実数x, yがx+3y=1 を満たすとき, x2 + y2 の最小値を求めよ。
(2)実数x, y x2+y2=4を満たすとき, 2x+y の最大値、最小値を求めよ。
が
(3)正の数a, b が ab=6 を満たすとき, 3a +86 の最小値を求めよ。

|12|
(1)x+3y=1 から
x=1-3y
これをx2+y2に代入すると
3
1
x2+ y2=(1-3y)2+y?=10y2-6y+1=10(y-- +
10
10
3
これは、y=10
-で最小値1をとる。
3
1
参考 y=10
のとき,①から x= 10
(2)x2+y2=4..... ① とする。
2x+y=k とおくと
y=k-2x
これを①に代入して
x2+(k-2x)2=4
よって
・・・・・・・・・
5x²-4kx+k²-4=0
xは実数であるから, ③の判別式 D について D≧0
D
=4k2-52-4)=20より 20-k²≥0
これを解いて
-2√5≤ k ≤2√5
したがって、 求める最大値は 2.5, 最小値は 2,5
/4/5 2/5
参考 k=2√5 のとき (x,y)=
y=(4/5
--2/5025-(-45-2/5)
k=2√5のとき
5
y)
別解 x, yはx+y2=4を満たす実数であるから
x=2cos, y 2sin0 (0≤0<2)
と表せる。
このとき 2x+y=2-2cos0 +2sin0=2sin0+2cos0)=2√5sin (0+α)
1
2
ただし, αはcosa=
sina=
を満たす角である。
V5
-1≦sin (0+α) ≦1 であるから
-2√√5≤2x+y≤2/5
よって、最大値は 2/5, 最小値は 25
6
(3) α0 であるから, ab=6 より
b=
a
6
48
よって
3a+8b=3a+8・・ =3a+
a
a
48
a
3a>0, >0であるから, 相加平均と相乗平均の大小関係により
48
48
3a+
-≧2, 3a
=24
3
48
等号は、 3
すなわちα4のとき成り立つ。 このとき
b=2
3
よって, 3a +86 はα=4,b=
b=m
で最小値24 をとる。
[参考] 一般に,実数a, b,c,d に対して, シュワルツの不等式
2+b22+d) (ac+bdy が成り立ち, 等号成立はα:b=c:d のときである。
(1) シュワルツの不等式により (12+3)(x2+y^) (1·x+3·y)²=12
すなわち
x+y2zj 10
等号成立は,xy=1:3かつx+3y=1, すなわち x=-
" y= = 110 のときである。
1
3
よって, x2+y2 はx=-
10
y=.
10
のとき最小値1をとる。
(2) シュワルツの不等式により
(2x+y)²≤ (22+1)(x2+y^) =5.4=20
よって
-2√5≤2x + y ≤2√5
2x+y=±2/5 となるのは, x: y=2:1 かつx2+y^2=4のときで,
y=(4/52/5)のとき2x+y=2√5 となり,
(x3)
y = (-4/5, 255)のとき2x+y=-2/5 となる。
(x,y)=
2/5
よって、2+) (42) のとき最大値 2/5,
(x, y)
2x+yは, (x, 2)
=(-455-255)のとき最小値 -2√5 をとる。

シュワルツの不等式 不等式

Answer 1

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ホタテ貝

正直受ける大学によります！
知っておくと格段に早く楽に解ける問題が出る可能性は十分あるかと

りる

なるほど自分は志望校東大です。

ホタテ貝

東大であれば、他の受験生たちはほぼ知っていると思ったほうがいいです
ただ、シュワルツの不等式が単体で聞かれることはないと思うので、計算テクニックとしての利用くらいになると思います

りる

ありがとうございます