Question

らむ

数3の定積分の置換積分法の部分です

この問題の解説の、2行目の部分は、どういう操作をしているのでしょうか

左辺はXに関して、右辺はTに関して微分しているように見えるのですが、それってアリなんですか？？
両辺同じ文字に関して微分しなくてもいいのですか？？？？

(2) Sx√/1+x³ dx

と、定
(4-
F
(9-1
(2)√1+x2 =t とおくと
1+x²=t², 2xdx=2tdt
すなわち
xdx=tdt
x と tの対応は右のようになる。
よって
S' x√ 1 + x ² dx
008の対
x
1
1b-
√2
=
t•tdt= -S√² t²dt
-DO+DZ-
t
1
√2
6(-1)
1√2
==
1
2√2-1
=1317-2/2-1
3

数3 定積分の置換積分法 積分

Answer 1

GDO

◆先ずは、t=√(1+x²)を微分してみると分かると思います。
t=(1+x²)¹⁄²
dt/dx=2x・1/2・(1+x²)⁻¹⁄²
　　 =x／t
t・dt=x・dx

◆質問の件：1+x²=t²を微分する
左辺をxで微分、右辺をtで微分してしまうと、正しくありません。
左辺2x、右辺2t…これは解説の記載と異なります。
解説では2xdx=2tdtとなっています。

では、両辺をxで微分すると、
d(1+x²)/dx=d(t²)/dx
d(1+x²)/dx=d(t²)/dt・dt/dx
2x=2t・dt/dx
2x・dx=2t・dt

x²+y²=1（円の方程式）をxで微分したことありませんか？
ーーーーー
（参考）
t,xと関係する変数としたyで微分すると
d(1+x²)/dy=d(t²)/dy
d(1+x²)/dx・dx/dy=d(t²)/dt・dt/dy
2x・dx/dy=2t・dt/dy
2x・dx=2t・dt