こんな感じの問題をどうアプローチするのかがよくわからないです。

Question

Pₖ、Pₖ₋₁、Pₖ₊₁の関係を聞かれた瞬間、Pₖ₊₁をPₖ、Pₖ₋₁使って求めようってなりそうです。
でもこの問題はそうやってやってては多分解けなさそうです。

確率漸化式作りが得意な人に聞きたいんですが、
「Pₖ、Pₖ₋₁、Pₖ₊₁の関係を作れ」と言われた時に、どうやって瞬時にPₖ、Pₖ₋₁、Pₖ₊₁の中から「どの1つに注目して」と決めてるんですか？慣れですか？

質問の意味がわからないかもしれませんが、要するに
「PₖをPₖ₋₁、Pₖ₊₁で求める
 Pₖ₋₁をPₖ、Pₖ₊₁で求める
 Pₖ₊₁をPₖ、Pₖ₋₁で求める」
の3つのどれ使うかの決め方が知りたいです。

和 · Accepted Answer

「関係を聞かれた瞬間、P[k+1]をP[k]、P[k-1]を使って求めよう」
というのは、固定観念に縛られているという意味でよくないです

そもそも、たとえばP[k+1] = P[k]+P[k-1]が成り立つとしたら
P[k] = P[k+1]-P[k-1]やP[k-1] = P[k+1]-P[k]も成り立ち、
どれでもいいわけであって、
どれに決めるか考えることに意味があるのかと思います

P[k]などの中のどれか1つにまず注目するわけではありません
関係式をつくるので、どれか1つの項に注目するというより、
2項とか3項の関係それ自体を考えて立式します

慣れで、このような漸化式になるだろうと
目星がつくことはありますが、
それが本来的というわけではありません
その都度、関係を考えます

P[k]は「k個の人が最終的に勝つ確率」です
P[k+1]は「k+1個の人が最終的に勝つ確率」です
P[k-1]は「k-1個の人が最終的に勝つ確率」です

k個の人が1/2で勝てばk+1個になり、
1/2で負ければk-1個になります（これが「関係」）
だから、P[k] = (1/2)P[k+1] + (1/2)P[k-1]です

漸化式のよくある手法というかスローガンの一つ:
はじめの1手で場合分け、です
はじめに勝つか負けるかで場合分けして足すことで立式しています

なお、この問題は破産の確率とか呼ばれており
（検索してみてください）、
漸化式の中でも毛色が異なるので、
これまでの漸化式の問題はできるがこの問題はよくわからない、
ということがざらにあるので、
その意味では自信をなくすことはありません

kが回数を表していないというのが、
これまでとは大きく異なるところだと思います
kはあくまで「今のコインの個数」という状態です

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