Question

Keisuke Honda

(ウ) uの速さが
無限遠に達するのに必要な速さ(イで求めた速さ)となっているのは何故ですか？

10 万有引力
万有引力の法則
F= GMm
r
2
M
m
F
F
※は中心間の距離。 天体の質量は中心点に集まって
いると考えてもよい。
力学的エネルギー保存則
2
mv + (-GMm
= 一定
r
万有引力の位置エネルギー (無限遠を基準)
ケプラーの法則
半長軸
軌道は楕円 (第1法則)
面積速度一定(第2法則)
a
a
中心天体
T2
3
a
=一定(第3法則)
※ 第2法則は1つの楕円軌道についてのもの。 第3法則は
中心天体が同じである別々の楕円軌道についてのもの。
周期 T

52 地球の質量を M. 万有引力定数をGとして答えよ。
(1)地球の自転周期をTとして、静止衛星の円軌道の半径r を M, G,
Tで表せ。円程
(2) 地球の中心Oから距離rの位置で静
止している物体Aがガス噴射をして静
止衛星になろうとする。
(ア) 静止衛星となるための速さを r,
ガス 衛星
A
M, G で表せ。
M
(イ) 噴射したガスが無限遠に達するのに
必要な速さuを r, M, G で表せ。
(ウ) 噴射前のガスを含めたAの質量を m とし, 噴射するガスの速さ
を (イ) の u とする。噴射すべきガスの質量を m で表せ。
(新潟大+大阪公立大)

②の右辺は無限遠点でのエネルギー。 止まるので運動エネルギーは0 また,無限
遠点での位置エネルギーは0 (基準点)。
Vi, v2 はそれぞれ第1宇宙速度, 第2宇宙速度とよばれる。
52 (1) T2より角速度は= 2π
T
遠心力 mrw と万有引力のつり合い
mr
(2x) = GMm r =
GMT23
472
遠心力を考えなければ,運動方程式 ma=F と a=rw” を用いて立式す
る。なお,静止衛星は赤道の上空を周期 T=1〔日〕 で回るので,地上から見
れば静止しているように見える。
2
(2)ここでは,遠心力 m- を用いて
GMm
m =
r
(イ) 力学的エネルギー保存則より, ガスの質量を mc とすると
mG
GM
v=
r
mau² + (G
GMmG
2 GM
=0+0
.. u =
r
r
(ウ)「分裂」現象であり, 運動量保存則が成
u
ガス 衛星
v
り立つ。衛星の質量はmo-mc であり,は
じめAは静止していたので
mcu= (mo-mu
MGN
2 GM
=
r
=(mo-ma)√
GM
r
..√2mG
= mo-mG
mG
mo-mc(=m)
③
0 = -mcu+mv
としてもよい
mo
...mc=
=√2-1) mo
1+√2
53 (1) 力学的エネルギー保存則により,地表とA点を結ぶと
mv² + (GMm)=0+ (-GMm)
R
Vo=
2 R
GM
VR
[m/s]
(2)円運動の式は m
2 R
GMm
(2R)2
..v=
GM
V2R
[m/s]
断りがなければ
3
2π (2R)
To=
=
4πR√
GM
2R (8)
自転や大気は
無視してよい
U

万有引力

Answer 1

和

(ウ)の問題文に「噴射するガスの速さを(イ)のuとする」
と書いてあるからでは？

Keisuke Honda

　無駄な時間使わせてしまってごめんなさい。

和

問題の見落とし、よくあることです
私も早く解こうとすると特にやりがちです
落ち着いていきましょう

Keisuke Honda

ありがとうございます。落ち着いていきます