Question

まかろん

(2)番です

他の問題を解いた時には逆に～と書かれていたのにこの問題の模範解答には逆に～と書かれていないのは何故ですか？

必要条件も成立するといえるようにするために逆に～という認識なのですがこの問題はその必要は無いのですか？

69 〈放物線の弦の中点の軌跡 >
放物線 y=x2 と直線 y=α(x-1) が異なる2点P, Qで交わっている。
(1) αのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) αの値が (1) の範囲で変化するとき, 線分 PQ の中点の軌跡を求めよ。

ポイント
(2)
中点のx座標は,解と係数の関係を利用
放物線と直線の交点の座標をα
a で表すのは面倒。
交点のx座標をα, β とし, そのまま扱う。
←
解と係数の関係を利用し, 文字αを消去する。
このとき,αが動く範囲に注意。
←
中点のx座標に制限が出てくる。
(1)
放物線y=x2 を C, 直線 y=a(x-1) を lとする。
Clの方程式からyを消去して整理すると
x2-ax+a=0
①の判別式をDとすると
・①
D=(-a)2-4・1・a=a(a-4)
C と l が異なる2点で交わるための条件は、 ①が異なる2つ
の実数解をもつことであるから
ゆえに
a(a-4)>0
(2) C と l が異なる2点で交わる
とき,その交点のx座標をそれ
ぞれα, β とすると, α βは
①の2つの解である。
よって、解と係数の関係により
a+β=a
中点の座標 (X, Y) とすると,
中点(X, Y) はℓ上にあるから
X= a+ ===
x=4+B
2
D>0
よって a<0, 4<a
y
l
a=2X であるから, αを消去して
α
OB
x
a
Y = a(X-1)
2'
Y=2X(X-1)
すなわち Y = 2X2-2X
a < 0, 4 <a であるから
2X < 0, 4 < 2X
すなわち
X < 0, 2 <X
よって, 求める軌跡は
放物線y=2x2-2xのx<0, 2<xの部分
α2+B2
参考
Y=
とおいても解くことができるが,
2

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

逆を確認しないといけないのは、
同値でない、一方通行の変形をしたときです
つまり、本来の条件を、必要条件に変えてしまう変形があるときです

本来の条件p ⇒ その必要条件q
としたとき、qを満たす図形はpを満たすとは限らないので、
qならばpの確認が必要です

たとえば
A(-1,0),B(1,0)に対して∠APB=90°となるPの軌跡
を求めるのに、P(x,y)として
AP²+BP²=AB²
(x+1)²+y²+(x-1)²+y²=4
x²+y²=1
と結論づけると間違いで、逆の確認が必要です
冒頭の∠APB=90° ⇒ AP²+BP²=AB²の部分が一方通行です
PがAやBと一致するときは、AP²+BP²=AB²ですが、
∠APB=90°は満たしません

このように、一方通行の変形は気づくのが難しいので、
変形一つ一つを慎重に行うことになります
とはいっても、逆が成り立つかにいつも気をつけるだけです

もしも、すべての変形を同値変形で書けたなら、
逆の確認は不要です（してもしなくてもよい）

※なお、「模範解答に逆の確認があるからといって、
逆の確認をしなくてはならない」とは言い切れません
しなくても構わないのに、しているケースはあります
（しても致命的では全然ありませんが、違和感はもたれかねません

で、本題ですが、この問題には特に一方通行の変形がないので、
逆の確認は不要です

Answer 2

ずと

僕も考えたことがあります。
僕の考えは全ての値で軌跡を取る時は範囲の確認をしたか
どうかわからないじゃないですか。
だから形式的に確認をするのではないかと思います。
この問題の軌跡は範囲が実数全体ではないですよね。
ということは範囲を問題を解く上で確認していることを示せているからいらないのだと思います。
あくまで僕個人の意見です。